Física, 2º Bachillerato. Problemas resueltos

Cinemática y dinámica del movimiento armónico simple

 

 

Problema 1.

Una masa de 2 kg está unida a un muelle horizontal cuya constante recuperadora es k = 10 N·m-1. El muelle se comprime 5 cm desde la posición de equilibrio y se deja en libertad. Determine:

a) La expresión de la posición de la masa en función del tiempo.

b) Los módulos de la velocidad y de la aceleración de la masa en un punto situado a 2 cm de la posición de equilibrio.

c) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra en los extremos de la trayectoria.

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Datos:

La figura muestra el sistema descrito desde su estado inicial (A) hasta que ha completado medio ciclo (C). En dicha figura se muestran también los datos que aporta el problema y la dirección y sentido de la fuerza recuperadora que está ejerciendo el muelle cuando la masa unida al mismo se encuentra en las tres posiciones dibujadas.

 

a) La ecuación del movimiento armónico simple es:

En la figura representativa del la situación podemos ver que la amplitud es

La posición de la masa cuando t = 0 está adelantada tres cuartos de periodo contados desde la posición de equilibrio. Como cada cuarto de periodo corresponde a un desfase, en radianes, de π/2

 

          

 

o, también, la posición cuando t = 0 está retrasada un cuarto de periodo contado desde la posición de equilibrio, es decir,

 

         

 

En la ecuación del m.a.s. podemos utilizar cualquiera de los dos valores, por ejemplo:

 

 

Para determinar la pulsación conocemos la masa de la partícula vibrante y la constante de elasticidad del muelle, por tanto,

Así, la ecuación del m.a.s. es

 

b) El problema pide la velocidad y la aceleración de la masa cuando está situada a 2 cm de la posición de equilibrio. Sin dar más detalles, podemos considerar que se encuentra a 2 cm a la izquierda de la posición de equilibrio (x = 0,02 m) o a 2 cm a la derecha de la posición de equilibrio (x = -0,02 m). Aquí consideraremos el primer caso.

Conocida la ecuación de posición, podemos plantear las ecuaciones de velocidad y de aceleración

 

 

 

Para conocer la velocidad es necesario conocer el instante concreto en el que la masa se encuentra en la posición x = 0,02 m. Para ello debemos sustituir el valor x = 0,02 m en la ecuación de posición y despejar el tiempo. Pero también es posible determinar la velocidad sin necesidad de conocer el tiempo a partir de la expresión:

 

 

Sustituyendo en esta expresión y en la de la aceleración, obtenemos:

 

 

 

En el caso de la velocidad, el valor positivo de la misma corresponde a la velocidad de la partícula cuando se dirige hacia el extremo (hacia la derecha en el esquema), mientras que el valor negativo corresponde a la velocidad de la partícula cuando se dirige hacia la posición de equilibrio (hacia la izquierda).

 

c) Si la partícula se encuentra en los extremos de la trayectoria (posiciones A ó C en el esquema), entonces

 

 

La fuerza recuperadora viene dada por la ley de Hooke, es decir,

 

 

El valor positivo corresponde a la fuerza recuperadora en la posición A representada en el esquema. El valor negativo corresponde a la fuerza recuperadora en la posición C.

 

 

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