Física, 2º Bachillerato. Problemas resueltos

Estudio de algunas propiedades de las ondas: Ondas estacionarias.

 

 

Problema 1.

En una cuerda tensa de 16 m de longitud, con sus extremos fijos, se ha generado una onda de ecuación:

 

 

a) Calcule la velocidad en función del tiempo de los puntos de la cuerda que se encuentran a 4 m y a 6 m, respectivamente de uno de los extremos y comente los resultados.

b) Calcule la distancia entre nodos dos nodos consecutivos. ¿A qué modo de vibración corresponde a la ecuación anterior?

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Datos:

- Longitud de la cuerda, L = 16 m

- Puntos de la cuerda a tener en cuenta, a 4 y 6 metros del extremo.

- Se trata de una onda estacionaria cuya ecuación es:

 

 

La ecuación general de esta onda es:

 

Por tanto,

- Amplitud del movimiento ondulatorio que da lugar a la onda estacionaria, A = 0,01 m

- Número de onda, k = π/4 rad/m

- Frecuencia angular, ω = 8π rad/s

 

 

a) La velocidad de vibración de los diferentes puntos de la cuerda viene dada por el ritmo de cambio de la posición de los mismos (y) respecto del tiempo, es decir,

 

 

  

En la ecuación de velocidad podemos sustituir x por 4 ó 6 m y obtener así la velocidad de dichos puntos de la cuerda en función del tiempo. Así,

 

 

Comentarios

- El punto situado en x = 4 m es un nodo, es decir, no vibra y por eso su velocidad es cero.

- El punto situado en x = 6 m tiene la máxima velocidad de las posibles ya que en este caso

 

 

 

que es su valor máximo. Se trata, por tanto, de un vientre.

 

b) La ecuación de la onda estacionaria corresponde a la ecuación general de un movimiento armónico simple de amplitud (Ar) variable según las siguientes expresiones:

 

 

 

Los nodos son puntos que no vibran, es decir, puntos donde Ar = 0. Para que esto ocurra

 

 

 

  

Si n = 0, x = 0, tenemos el primer nodo situado en el origen de la cuerda. Si n = 1, x = 4 m, tenemos el segundo nodo. Por tanto, la distancia entre el primer nodo y el segundo es de 4 m.

En cuanto al modo de vibración, se nos dice que la cuerda mide 16 m. Si hacemos x igual a este valor en la condición de nodo veremos que,

 

 

Esto se hace así porque la cuerda está sujeta por los dos extremos, es decir, los extremos x = 0 y x = 16 m son nodos.

El cuarto armónico corresponde a una onda estacionaria de 4 vientres y 5 nodos. En el apartado anterior se ha visto que la distancia entre dos nodos es de 4 m. Si la cuerda mide 16 metros y debemos empezar y terminar con un nodo,

 

 
     

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