Física, 2º Bachillerato. Problemas resueltos

Estudio de algunas propiedades de las ondas: Superposición de ondas. Interferencias.

 

 

Problema 2.

Dos altavoces vibran gracias al mismo oscilador a una frecuencia de 2000 Hz. La separación entre los altavoces es de 3 m, como se muestra en la figura. Un escucha está originalmente en el punto O, situado a 8 m medidos sobre el eje axial central. ¿Cuánto debe moverse el oyente perpendicularmente a ese eje, antes de alcanzar el primer mínimo en la intensidad sonora? Dato: velocidad del sonido en el aire = 330 m/s

 

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Primero determinaremos la longitud de la onda sonora:

 

 

La exigencia del problema es que en el punto P la interferencia sea destructiva. La condición de interferencia destructiva es (cuya deducción se puede en una nueva ventana al pinchar aquí) es:

 

 

Donde n = 0 ya que el enunciado dice que dicho punto es el primer mínimo. Por tanto,

 

 

Veamos una primera forma de resolver el problema utilizando ángulos. En la figura siguiente la línea AO es perpendicular a r2,

 

 

Por tanto, el triángulo ABO es un triángulo rectángulo donde el cateto BO es precisamente Δr. El ángulo α del triángulo tiene por seno,

 

 

de donde,

 

 

Ahora bien, en la figura las dimensiones no están muy proporcionadas ya que Δr es muy pequeño en comparación con las distancias r1 y r2. En estas circunstancias podemos considerar una buena aproximación que los ángulos α y β son iguales.

 

 

Teniendo en cuenta ahora el triángulo rectángulo que contiene a β,

 

 

 

Una segunda forma de resolver el problema, que también requiere de realizar aproximaciones, es la siguiente:

 

 

Tal como ya se ha dicho, la diferencia entre las distancias r1 y r2 es, si en P hay interferencia destructiva,

 

 

Donde r1 y r2 son sendas hipotenusas de dos triángulos rectángulos de vértices APD y BPC. Según el teorema de Pitágoras,

 

 

 

Desarrollamos lo que hay dentro de una de las raíces, por ejemplo, la segunda:

 

 

La primera aproximación es desechar el término y2 ya que debe ser muy pequeño en comparación con el número 66,25. Entonces,

 

 

De la misma manera,


 

Seguimos con el interior de las raíces de la siguiente manera:

 

 

Si llamamos

 

 

Tenemos,

 

 

Como x es muy pequeño en comparación con la unidad, podemos aproximar la raíz (desarrollo de Taylor) de la siguiente manera:

 

 

Por tanto,

 

 

Si operamos de la misma manera con r1 tendremos

 

 

Ahora, la expresión de Δr queda,

 

 

Como el valor de Δr ya lo conocíamos desde el principio, 

 

 

 

En definitiva, los mínimos de intensidad sonora se sitúan a 22 cm a ambos lados de la línea central de los dos altavoces. A partir de estos puntos, cada 22 cm habrá mínimos de intensidad sonora.

 

Física, 2º Bachillerato. Problemas resueltos