La figura muestra la situación descrita en el enunciado. El satélite (natural o artificial) de masa m gira en una órbita circular en torno a un planeta de masa M.

 

a) El satélite está girando en torno al planeta, que es el cuerpo que crea el campo gravitatorio. La fuerza central que provoca el giro del satélite es la fuerza gravitatoria que el planeta ejerce sobre el satélite. Por tanto, el giro del satélite se debe a la existencia sobre el mismo de una fuerza central (Fc),

 

 

Donde ac es la aceleración centrípeta del satélite, v es la velocidad orbital del satélite y R es el radio de la órbita.

Como se ha dicho, la interacción responsable de esta fuerza central es la atracción gravitatoria del planeta sobre el satélite, por tanto,

 

 

 

 

 

Donde M es la masa del planeta y m es la masa del satélite. Despejando la velocidad orbital obtenemos:

 

 

 

Por otra parte, debemos encontrar una relación entre el periodo de revolución del satélite y la velocidad orbital. Si consideramos que el movimiento del satélite es circular uniforme, el periodo es,

 

 

 

Si despejamos la velocidad orbital obtenemos

 

 

 

Ya tenemos dos expresiones para la velocidad orbital, las unimos,

 

 

 

Para eliminar la raíz, elevamos al cuadrado los dos términos,

 

 

 

Si despejamos el periodo obtenemos, 

 

 

 

Expresión que corresponde a la tercera ley de Kepler: el periodo de revolución de un cuerpo que gira en torno a otro (satélite en torno a un planeta, planeta en torno a una estrella, estrella en torno a otra estrella mayor, etc…) es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita.

 

 

 

Donde la constante de proporcionalidad, K, es

 

 

 

Ahora bien, lo que se pide es la masa del planeta. Despejamos entonces,

 

 

 

 

b) La tercera ley de Kepler también se puede escribir de la siguiente forma:

 

 

 

Donde el subíndice “1” se refiere a los datos de periodo de revolución y radio de la órbita de un cuerpo que gira en torno a otro y el subíndice “2” se refiere a los mismos datos de un segundo cuerpo que también gira en torno al mismo cuerpo que el primero. En el caso del Sistema Solar esta expresión se puede utilizar con los planetas que giran en torno al Sol, o con los satélites que giran en torno a un planeta.

En nuestro caso, los datos observacionales de Saturno en el cielo muestran que su periodo de revolución es de 29,45 años. Sólo con este dato y con los datos conocidos de otro planeta podremos calcular la distancia de Saturno al Sol. Resulta que los datos conocidos son los de nuestro propio planeta, la Tierra, que tiene un periodo de revolución de 1 año y una distancia al Sol que llamaremos unidad astronómica (en un principio esta distancia en kilómetros era desconocida, lo cual no impedía el cálculo de distancias si, precisamente, se toma como unidad de medida la distancia Tierra-Sol).

En definitiva,

 

 

 

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