Física, 2º Bachillerato. Problemas resueltos

Movimiento de un cuerpo entre dos puntos del campo gravitatorio (cambio de órbita, puesta en órbita, caídas, etc)

 

 

Problema 1.

Un meteorito de 1000 kg de masa se encuentra en reposo a una distancia sobre la superficie de la Tierra de cinco veces el radio terrestre.

a) ¿Cuál es el valor de la energía mecánica asociada al meteorito en esa posición? Justifique el signo obtenido.

b) Prescindiendo de la fricción con el aire, calcule la velocidad con la que impactará contra la superficie de la Tierra. ¿Dependerá esa velocidad de la trayectoria que siga el meteorito?

Datos: RT = 6370 km; go = 9,8 m/s2

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Solución:

La figura muestra la situación de partida.

a) Si el meteorito se encuentra inicialmente en reposo no tiene energía cinética. Su energía será exclusivamente por su posición en el campo gravitatorio terrestre. Por tanto, en el punto A su energía mecánica es,

 

 

 

donde MT es la masa de la Tierra, m la masa del meteorito y r la distancia entre los centros de gravedad de la Tierra y el meteorito, es decir,

 

 

siendo RT el radio de la Tierra.

Por tanto,

 

Para eliminar la masa de la Tierra multiplicamos y dividimos por RT,

 

 

Como

entonces

 

El signo negativo de la energía mecánica indica que el meteorito se encuentra dentro del campo gravitatorio terrestre, no es un objeto libre. Lo malo de esta situación es que al no tener el meteorito energía cinética, no se encuentra en órbita y está abocado a caer sobre la superficie terrestre.

 

b) Si no se tienen en cuenta en la caída del meteorito fuerzas no conservativas (fricción con la atmósfera), entonces sólo actúa la fuerza gravitatoria. Se cumple el principio de conservación de la energía mecánica,

 

 

 

 

 

  

La masa del meteorito se puede simplificar, es decir, la velocidad del mismo al llegar a la superficie de la Tierra no depende de la masa del meteorito. Para eliminar la masa de la Tierra multiplicamos y dividimos por RT

 

Como

 

entonces

 

 

Finalmente, despejamos la velocidad en la expresión anterior,

 

 

 

 

Como el campo gravitatorio es conservativo, el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria para trasladar el meteorito desde la posición A a la posición B es independiente de la trayectoria seguida, es decir, la velocidad con que llega el meteorito a la superficie de la Tierra es independiente de la trayectoria seguida, sólo depende de la posición inicial y de la posición final.

 

 
     

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