Física, 2º Bachillerato. Problemas resueltos

Movimiento de cargas eléctricas en el seno de un campo magnético o en un campo electromagnético

 

 

Problema 3.

En la región de la figura, limitada por los planos y = 0, y = yo = 10 cm, existe un campo eléctrico de 1000 V/m en la dirección del eje y, en sentido negativo de dicho eje. En la región existente entre el plano y = yo y el infinito existe un campo magnético uniforme de 10-4 T en la dirección del eje x, en sentido positivo de dicho eje. Se abandona un electrón en el origen de coordenadas sin velocidad inicial. Hallar:

a) Velocidad del electrón en el punto P(0, yo, 0).

b) Comprobar que el movimiento del electrón es periódico.

c) ¿Cual es su período?

Son datos en este problema la masa y la carga del electrón.

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Solución:

a) El campo eléctrico comunica al electrón un movimiento acelerado a lo largo del eje OY. La diferencia de potencial entre los puntos O y P es,

 

Por tanto, el electrón está sometido a una diferencia de potencial de 100 V. La variación de energía potencial entre los dos puntos será,

 

Se cumple el principio de conservación de la energía mecánica,

Si el electrón parte del reposo, la energía cinética en el punto P es,

 

Por tanto, la velocidad en dicho punto es,

 

 

Alternativamente, se podría haber determinado la fuerza eléctrica a que está sometido el electrón,

 

Aplicando la segunda ley de Newton se determina la aceleración del electrón y, finalmente, se plantea la ecuación de su m.r.u.a. para determinar su velocidad.

 

b) Cuando el electrón llega al punto P, se ve sometido a una fuerza magnética,

 

El módulo de esta fuerza es,

 

Donde α es el ángulo que forman el vector velocidad y el campo magnético, es decir, 90 grados.

 

Por tanto

 

La dirección de la fuerza magnética es perpendicular al plano que contiene al vector velocidad y al vector campo magnético, es decir, el eje z. Su sentido viene dado por el de avance de un sacacorchos que gira desde v hasta B (regla mano izquierda). Por tanto,

 

Ahora bien, si la fuerza magnética es perpendicular en todo momento a la velocidad del electrón, se trata de una fuerza central que describirá un semicírculo de radio R. Si la fuerza magnética es una fuerza centrípeta, se verifica que sus módulos son iguales:

 

 

 

 

El movimiento de giro del electrón se mantiene hasta que llega al punto P’ (véase la figura). Entonces, sale de la región de influencia del campo magnético y vuelve a entrar en la región de influencia del campo eléctrico. A partir del punto P’ su movimiento será rectilíneo uniformemente decelerado hasta que llegue al punto O’ donde se detendrá. En se instante el electrón vuelve a repetir el movimiento anterior, pero la trayectoria está trasladada una distancia 2R en dirección paralela al eje OZ. Por tanto, su movimiento sí es periódico.

 

c) El periodo del movimiento del electrón será el tiempo que tarda en recorrer la distancia OP, más el tiempo que tarda en recorrer el semicírculo, más el tiempo que tarda en recorrer la distancia P’O’.

El tiempo que tarda el electrón en recorrer la distancia OP, t1, es el mismo que el que tarda en recorrer la distancia P’O’, t3.

 

Como conocemos la velocidad inicial y final del electrón en el tramo OP, cuya distancia es de 10 cm, podemos determinar su aceleración,

 

Por tanto, la ecuación del movimiento del electrón en el tramo OP es,

Si y = 0,1 m, t = t1,

 

El movimiento en el seno del campo magnético es circular uniforme. El tiempo que tarda en recorrer una semicircunferencia, t2, es,

 

El periodo del movimiento del electrón es

 

 

 
     

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