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- Introducción

- ¿En qué consiste la prueba del 9

- Aplicaciones prácticas de la prueba

     - Multiplicación

     - Suma

     - División

- Orígenes de la prueba del 9

- Fundamentos matemáticos

     - Proposición 1

     - Proposición 2

     - Prueba del 9 para la multiplicación

     - Prueba del 9 para la suma

     - Prueba del 9 para la división

- Bibliografía utilizada

 

 

 

 

 

 

Acerca de la Prueba del Nueve

   
 

 

Una aproximación a los fundamentos matemáticos de la prueba del nueve.

            La demostración formal de la prueba del nueve entra dentro de la teoría de números, concretamente de la llamada aritmética modular, de los números congruentes. Fue establecida por Friedrich Gauss en su obra Disquisittiones artihmeticae de 1801. No obstante, las demostraciones que aparecen a continuación, aunque inspiradas en las propiedades de las congruencias y concretamente en la demostración de Rupin Gutiérrez (citado en la bibliografía), huyen del formalismo matemático utilizado en esa parte de las matemáticas que quedan muy lejos de las pretensiones de este artículo.

 

Proposición 1

            Cuando al dividir dos números cualesquiera, a y b, entre otro número cualquiera, n, obtenemos el mismo resto, entonces la diferencia entre esos números, a – b, es un múltiplo entero de n.

Es decir, si a/n y b/n tienen el mismo resto, entonces (a – b) = k·n, donde k es un número entero. Por ejemplo, probemos a dividir 2598 y 1935 entre 17:

 

Dividendo

Divisor

Cociente

Resto

2598

17

152

14

1935

17

113

14

 

Como vemos, el divisor y el resto son los mismos, luego los dividendos cumplen que

2598 – 1935 = k ·17

donde k es un número entero. Efectivamente,

2598 – 1935 = 663

663 : 17 = 39; 39 = k

Demostración 

Si ca y ra son, respectivamente, el cociente y el resto de dividir a por n, entonces

a = ca · n + ra

Si cb y rb son, respectivamente, el cociente y el resto de dividir b por n, entonces

b = cb · n + rb

Despejamos ra y rb

ra = a – ca n

rb = b –  cb n

Veamos la condición que se debe dar para que los dos restos sean iguales

ra = rb

a – ca n = b – cb n

a – b = ca n – cb n

a – b = n(ca – cb)

Como ca y cb son dos números enteros, entonces su diferencia es también un número entero, que podemos llamar k

(a – b) = k n

   
   

Proposición 2

            Al dividir por 9 un número natural, N, cualquiera, el resto obtenido es el mismo que el que se obtiene de dividir por 9 la suma de las cifras que componen dicho número[1].

 

Demostración

Sea N un número natural cualquiera de n+1 cifras. El sistema de numeración posicional y decimal nos permite escribir este número de la siguiente manera[2]

N = 10 n an + 10 n-1 an-1 + ………………+ 101 a1 + 100 a0

N = 10 n an + 10 n-1 an-1 + ………………+ 10 a1 + a0

Por otra parte,  an , an-1 , ……, a1  y a0 , son las cifras de N, su suma, SN , será

SN = an + an-1 + …………+ a1 + a0

Si N y SN tienen el mismo resto al dividir cada número por 9, según la proposición 1 la diferencia entre ambos números debe ser un múltiplo entero de 9. Veamos

N – SN = (10 n an + 10 n-1 an-1 + ………………+ 10 a1 + a0) – (an + an-1 + …………+ a1 + a0) =

= 10 n an – an + 10 n-1 an-1 – an-1 + ………………+ 10 a1 – a1 + a0 – a0 =

= (10 n – 1)an + (10 n-1 – 1)an-1 + … … … … … + (10 – 1)a1 =

 

 

   n  veces

(n – 1) veces

 

 

=

(99999…9)an +

(9999 …9)an-1 +

……… +

9 a1 =

 

 

          n veces

       (n – 1) veces

 

 

=

9 · (11111…1)an +

9 · (1111 …1)an-1 +

……… +

9 a1 =

 

 

     n veces

    (n – 1) veces

 

 

= 9 ·

[ (11111…1)an +

 (1111 …1)an-1 +

……… +

 a1] =

 

= 9 · k

donde

 

      n veces

   (n –1) veces

 

 

k =

[ (11111…1)an +

 (1111 …1)an-1 +

……… +

 a1]

 

es un número entero, que es lo que se quería demostrar.

 

Pero la prueba del nueve no se detiene en SN, ya que luego suma las cifras que forman SN para obtener otro número, pongamos S2N. Sin embargo la demostración es trivial pues no hay más que iterar el proceso

SN = 10 m am+ 10 m-1 am-1 + ………………+ 101 a1 + a0

S2N = am + am-1 + …………+ a1 + a0

donde m es menor que n.

SN – S2N = 9 · k’

 

Y así sucesivamente hasta que la última suma sea menor de 9.

           

No me resisto a seguir los pasos de esta demostración con un número concreto elegido al azar. Además puede ayudar a quien se encuentre perdido en la demostración. Dadas las características del número pi (un número irracional transcendente) las seis primeras cifras decimales, por ejemplo, conforman un número elegido al azar, el 141592. Los pasos serán exactamente los mismos, sin simplificaciones:

 

N = 141592

N = 105 · 1 + 104 · 4 + 103 · 1 + 102 · 5 + 101 · 9 + 100 ·2

N = 105 · 1 + 104 · 4 + 103 · 1 + 102 · 5 + 10 · 9 + 2

SN = 1 + 4 + 1 + 5 + 9 + 2

N – SN = (105 ·1 + 104 ·4 + 103 ·1 + 102 ·5 + 10 ·9 + 2) – (1 + 4 + 1 + 5 + 9 + 2) =

= 105 · 1 – 1  + 104 · 4 – 4  + 103 · 1 – 1  + 102 · 5 – 5  + 10 · 9 – 9  + 2 – 2 =

= (105 – 1)·1 + (104 – 1)·4 + (103 – 1)·1 + (102 – 1)·5 + (10 – 1)·9 =

= 99999 · 1 + 9999 · 4 + 999 ·1 + 99 · 5 + 9 · 9 =

= 9 · [11111 · 1 + 1111 · 4 + 111 · 1 + 11 · 5 + 1 · 9] =

9 · 15730


 
 
 

Prueba del nueve para el producto

            Como hemos visto, se pasa la prueba si el resto del producto es el mismo que el resultado de multiplicar el resto del multiplicando y el resto del multiplicador. Entendiéndose que el resto se refiere en todos los casos al obtenido cuando se divide por 9.

 

Demostración

Sean m y n dos números cuyo producto es p = m  ·n. Al dividir p, m y n por nueve se obtendrá

m = 9cm + rm , donde cm es el cociente y rm el resto

n = 9 cn + rn , donde cn es el cociente y rn el resto

p = 9 cp + rp , donde cp es el cociente y rp el resto   (1)

Por otra parte,

p = m · n = (9cm + rm) · (9cn + rn) = 9cm 9cn + 9 cm rn + 9cnrm + rm rn

p = 9 ·(9cmcn + cmrn + cnrm) + rmrn   (2)

 

Si comparamos (1) y (2) veremos que

cp = 9cmcn + cmrn + cnrm

y, sobre todo

rp = rmrn

el resto del producto es el producto de los restos de multiplicando y multiplicador, que es lo que se quería demostrar.

 

 

  Prueba del nueve para la suma

 

            El procedimiento en las demostraciones siempre será el mismo. En este caso hay que demostrar que el resto de dividir por nueve el resultado es igual a la suma de los restos de dividir por nueve cada sumando.

 

Demostración

Sean a, b y c los sumandos cuya suma es s = a + b + c. Al dividir a, b, c y s por nueve se obtendrá

a = 9ca + ra

b = 9cb + rb

c = 9cc + rc

s = 9cs + rs     (1)

Por otra parte,

s = a + b + c = 9ca + ra + 9cb + rb + 9cc + rc

s = 9 ·(ca + cb + cc) + ra + rb + rc     (2)

Comparamos (1) y (2), entonces

cs = ca + cb + cc

rs = ra + rb + rc

 
  Prueba del nueve para la división

 

            Por último, hay que demostrar que el resto del dividendo es igual que el resto del divisor por el resto del cociente más el resto del resto de la división. Como siempre, se trata del resto de dividir por 9 cada miembro de la división.

 

Demostración

Sean D el dividendo, d el divisor, C el cociente y R el resto de una división cualquiera. Entonces D = d ·C + R. Al dividir por nueve D, d, C y R se obtendrá

D = 9cD + rD     (1)

d = 9cd + rd

C = 9cC + rC

R = 9cR +  rR

Por otra parte,

D = d ·C + R = (9cd + rd) · (9cC + rC) + 9cR +  rR

D = 9 · (9cC cd + cC rd + cd rC + cR) + rd rC + rR     (2)

Comparamos (1) y (2), entonces

cD = 9cC cd + cC rd + cd rC + cR

rD = rd rC + rR

 

-------ooooo000O000ooooo-------

 

Es una pena que procedimientos como la prueba del nueve queden olvidados en textos antiguos de matemáticas, atropellados por la indolencia mental que permiten las nuevas tecnologías y por una evolución no siempre acertada de los planes de estudio en nuestros centros de educación.

 


[1] En términos de álgebra modular sería: “Un número natural, N, cualquiera y la suma de sus cifras, SN , son congruentes, módulo 9, es decir, N ≡ SN (mod 9)”.

[2] Por ejemplo, 57879 = 10000 · 5 + 1000 · 7 + 100 · 8 + 10 · 7 + 9 = 104 · 5 + 103 · 7 + 102 · 8 + 10 · 7 + 9

 

 

 

Bibliografía utilizada

Todas las entradas provenientes de Internet corresponden a visitas realizadas el 31 de julio de 2007 

1.-

Cañizo, J. A., La prueba del nueve. Extraído del sitio El agujero (http://ende.cc/agujero/index.html) con la siguiente dirección: [http://ende.cc/agujero/juegos/prueba9.html]

2.-

Díaz-Pinés, M., La prueba del nueve y el Z-módulo Z(9). Ábaco, revista digital. Extraído del sitio SMProfes.net [http://www.matematicas.profes.net/] con la siguiente dirección: [http://www.profes.net/rep_documentos/Monograf/GMNUPrueba.pdf]

3.-

Fernández Martínez, C., De la prueba del nueve. Extraído del sitio I.E.S. Aramo de Oviedo (http://web.educastur.princast.es/ies/aramo/) con la siguiente dirección: [http://web.educastur.princast.es/ies/aramo/departamentos/mate/carlos.pdf]

4.-

Ifrah, G. (1997). Historia universal de las cifras. Madrid: Espasa.

5.-

Real Academia Española. (2001). Diccionario de la Lengua Española. Madrid: Espasa.

6.-

Real Academia Española. Consulta en http://buscon.rae.es/draeI/  para el avance de la 23ª edición.

7.-

Rupin Gutiérrez, P., La prueba del nueve, Extraído del sitio El agujero (http://ende.cc/agujero/index.html) con la siguiente dirección: [http://ende.cc/agujero/juegos/prueba9_pedro_rupin.pdf]

8.-

Sánchez Martos, J. Fibonacci, biografía. Extraído del sitio Sociedad Andaluza de Matemáticas Thales (http://thales.cica.es/) con la siguiente dirección:  [http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/31-2-o-fibo2.html]

9.-

Solis, C. y Sellés, M., (2005). Historia de la Ciencia. Madrid: Espasa.

10.-

Tadea Aragón, A., (2003). La vigencia de los aportes de dos matemáticos italianos: Luca Pascioli y Leonardo de Pisa  del siglo XII en las matemáticas escolares del segundo ciclo de la Educación General Básica. Escuela de Historia, Año 2, Vol. 1, nº 2.  Extraído del sitio Revista Escuela de historia (http://www.unsa.edu.ar/histocat/revista/index.html)

11.-

Wikipedia, la enciclopedia libre (http://es.wikipedia.org/wiki/Portada). Consultas realizadas:

 

 

Al- Khwarizmi [http://es.wikipedia.org/wiki/Muhammad_ibn_Musa_al-Jwarizmi]

 

 

Leonardo de Pisa [http://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_de_Pisa]

 

 

Aritmética modular [http://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica_modular]

 

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Este artículo se finalizó el 31 de julio de 2007 en

Villanueva del Arzobispo, Jaén (España)

Autor: Felipe Moreno Romero

fresenius1@gmail.com

http://www.escritoscientificos.es