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- Introducción

- ¿En qué consiste la prueba del 9

- Aplicaciones prácticas de la prueba

     - Multiplicación

     - Suma

     - División

- Orígenes de la prueba del 9

- Fundamentos matemáticos

     - Proposición 1

     - Proposición 2

     - Prueba del 9 para la multiplicación

     - Prueba del 9 para la suma

     - Prueba del 9 para la división

- Bibliografía utilizada

 

 

 

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Acerca de la Prueba del Nueve

   
 

 

Ante el reto de comprobar si el resultado de una suma, resta, multiplicación o división es correcto o no lo es, el procedimiento que se sigue hoy día dista mucho del que yo recuerdo, 30 años ha, mi padre y maestros hacían. Es evidente que en el día de hoy las cuatro operaciones básicas se verifican mediante la repetición de las mismas un número suficiente de veces (normalmente dos, máximo tres veces) constatando que el resultado obtenido coincide. Se podría pensar que es un procedimiento largo, sobre todo si los números son grandes, pero todo se reduce a tocar botones en un aparato que calcula por nosotros y, así, el proceso se justifica a sí mismo pese a las grandes desventajas que tiene: un entrenamiento mental nulo y una autoestima inexistente ante la falta de calidad del procedimiento entre otras.

Hace 30 años las calculadoras no eran tan numerosas ni baratas, las comprobaciones marchaban por derroteros muy diferentes y, desde luego, no se repetían las operaciones si estaban bien. El procedimiento, llamado la “prueba del nueve”, no tiene esa edad ni mucho menos pues es muy antiguo como se verá más adelante, pero quizá sea esa la cantidad de años que hace que empezó a declinar hasta hoy día que está en total desuso. Puedo recordar que cuando mi padre hacía una multiplicación o una división no faltaba al lado de la cuenta un aspa con cuatro números, dos de ellos coincidentes si la operación estaba bien realizada, y que se rellenaba con una cantinela. A modo de ejemplo (fig. 1): “dos mil quinientos sesenta y siete, fuera los nueves 2; setenta y ocho, fuera los nueves 6; seis por dos doce, fuera los nueves 3; doscientos mil doscientos veintiséis, fuera los nueves 3”.

 

   

Figura 1.

 

Aquella cantinela de “fuera los nueves” (o también “fuera de los nueves”) queda ya en el recuerdo de las enseñanzas de antes. La expresión “prueba del nueve” se utiliza hoy día como prueba clara de la verdad o falsedad de una cuestión debatida. Así se recoge en la página web del diccionario de la Real Academia Española cuando se introduce la palabra “prueba” en el buscador. Aparece este significado, sin embargo, como una enmienda para la próxima edición vigésimo tercera pues la edición vigente hoy (22ª) no recoge acepción alguna respecto del término. Este hecho confirma que la expresión se utiliza mucho en ese sentido y se puede decir que ha pasado la prueba del nueve para aparecer en la nueva edición del diccionario. Tuve otra prueba del nueve de esta afirmación cuando busqué referencias en Internet para este artículo. Así, cuando escribí “prueba del nueve” en el buscador de Google aparecieron 44900 resultados pero muy pocos se referían al punto de vista matemático. La gran mayoría se referían a la utilización de la expresión en el sentido con el que aparecerá en la próxima edición del diccionario de la Real Academia Española.

Es necesario mencionar aquí, en el contexto de lo dicho en el párrafo anterior y tal como se verá más adelante, que desde el punto de vista matemático la prueba del nueve es condición necesaria pero no suficiente para verificar una operación. Con esto quiero decir que si una operación matemática no ha sido bien efectuada entonces no habrá de cumplir la prueba del nueve, pero si la operación matemática sí verifica la prueba, no es suficiente para tener la certeza de que el cálculo ha sido correctamente efectuado. Habrá que decir entonces que desde el punto de vista matemático la prueba del nueve no es infalible en lo que pretende, aunque la profusión con que se utilizaba antaño le ha dado la firmeza suficiente para que hoy día sí que denote infalibilidad la expresión “pasar la prueba del nueve” desde un punto de vista lingüístico.

Después de esta larga introducción, mencionar que a partir de aquí el propósito principal de este artículo es explicar en qué consiste la prueba del nueve y en aplicarla a ejemplos concretos. No obstante, no me detendré sólo en estos puntos ya que también mencionaré brevemente los orígenes históricos que he podido encontrar y finalmente realizaré un estudio propio del fundamento matemático de la prueba.

 

   
 

¿En qué consiste la prueba del nueve?

Podemos empezar por una definición formal de la prueba del nueve. Ya que la edición 23ª del diccionario de la Real Academia Española también recogerá su significado matemático, se puede empezar por dicha definición: “cálculo sencillo que sirve para verificar el resultado de las operaciones aritméticas, especialmente en la multiplicación y en la división, fundado en que el resto de dividir un número por nueve es el mismo que el de dividir también por nueve la suma de sus cifras”. En realidad esta prueba se puede aplicar a todas las operaciones con números naturales. Consiste en:

1) Hallar los restos de la división por 9 de los componentes de la operación aritmética.

2) Realizar con estos restos la misma operación aritmética y calcular para el resultado obtenido su resto cuando se divida por 9.

3) Obtener también el resto de dividir por 9 el resultado de la operación aritmética.

4) Comparar los números obtenidos en los pasos 2 y 3. Se pasa la prueba si coinciden.

Visto así el asunto parece lioso y largo pues se está diciendo que hay que dividir por 9 varias veces, sin embargo el número 9 es especial cuando de dividir por él se trata: se puede conocer el resto de dividir cualquier número por 9 sin más que sumar sus cifras y hacerlo de nuevo con el resultado hasta que quede una sola cifra que será el resto, excepto si la cifra es precisamente 9, entonces el resto es cero. Los ejemplos en este caso serán más clarificadores:

 

División

Cálculo del resto

Resto

3548 : 9

3 + 5 + 4 + 8 = 20

2 + 0 = 2

2

5478569 : 9

5 + 4 + 7 + 8 + 5 + 6 + 9 = 44

4 + 4 = 8

8

4752 : 9

4 + 7 + 5 + 2 = 18

1 + 8 = 9

0

 

Cada vez que se obtiene el resto de esta manera es cuando se debe decir “fuera los nueves” o “fuera de los nueves”, así, decimos: 3548 fuera de los nueves 2. Como vemos obtener el resto de dividir entre 9 es muy sencillo y se puede hacer mentalmente.

 

 
 

Aplicaciones prácticas de la prueba del nueve

 

Abordemos la prueba para la multiplicación. En la figura 1 anterior se ha multiplicado 2567 x 78, siendo el resultado que queremos comprobar 200226. Recordemos que 2567 es el multiplicando, 78 es el multiplicador y 200226 es el producto.  

En primer lugar se trazará un aspa a la derecha de la multiplicación para delimitar cuatro huecos que rellenaremos de la siguiente manera:

 

2567 x 78 = 200226

Paso nº

Objetivo

Cálculo

Resultado

1

Calcular el resto de dividir por 9 el multiplicando

Multiplicando = 2567

2 + 5 + 6 + 7 = 20

2+0 = 2

2

(lo anotamos en el hueco superior del aspa, figura 2a)

Calcular el resto de dividir por 9 el multiplicador

Multiplicador = 78

7 + 8 = 15

1 + 5 = 6

6

(lo anotamos en el hueco inferior del aspa, figura 2b)

2

Obtener el resto del producto multiplicando las dos cifras obtenidas en el paso 1 y calculando el resto de dividir por 9 el resultado obtenido

2 x 6 = 12

1 + 2 = 3

3

(lo anotamos en el hueco izquierdo del aspa, figura 2c)

3

Obtener el resto del producto a partir del resultado de la multiplicación

Producto = 200226

2 + 0 + 0 + 2 + 2 + 6  = 12

1 + 2 = 3

3

(lo anotamos en el hueco derecho del aspa, figura 2d)

4

Comparar los resultados de los pasos 2 y 3

La multiplicación ha pasado la prueba del nueve

 

 

Figura 2.

 

 Veamos ahora cómo aplicar la prueba del 9 a una suma como la siguiente:

 

 

36987

 

9520

+

105876

 

152283

 

 En este caso hay que calcular los restos de dividir por 9 cada uno de los sumandos. La suma de estos restos debe coincidir con el resto de dividir por 9 el resultado que se desea comprobar:

 

36987 + 9520 + 105876 = 152283

 

Cálculo del resto

Resto

Suma de los restos de los sumandos

Primer sumando

3 + 6 + 9 + 8 + 7 = 33

3 + 3 = 6

6

13, su resto es 1 + 3 = 4

Segundo sumando

9 + 5 + 2+ 0 = 16

1 + 6 = 7

7

Tercer sumando

1 + 0 + 5 + 8 + 7 + 6 = 27

2 + 7 = 9

0

 

Resultado a comprobar

1 + 5 + 2 + 2 + 8 + 3 = 21

2 + 1 = 3

3

 

 No coinciden luego la suma está mal. El resultado de la suma es en realidad 152383, cuyo resto da, evidentemente, 4.

 

Por último, en la figura 3 se ha aplicado la prueba del nueve a la comprobación de una división (fig. 3).

 

Figura 3

 

 

En este caso hay que tener en cuenta el resto de la operación pues como sabemos Dividendo = (divisor x cociente) + resto. Así, una vez calculados los restos de dividir por 9 el dividendo, divisor, cociente y resto, también deben cumplir la ecuación anterior. Veamos:

 

13976 : 23 = 607, R = 15

Paso nº

Objetivo

Cálculo

Resultado

1

Calcular el resto de dividir por 9 el divisor

Divisor = 23

2 + 3  = 5

5

(lo anotamos en el hueco superior del aspa, figura 3)

Calcular el resto de dividir por 9 el cociente

Cociente = 607

6 + 0 + 7 = 13

1 + 3 = 4

4

(lo anotamos en el hueco inferior del aspa, figura 3)

Calcular el resto de dividir por 9 el resto de la división

Resto = 15

1 + 5 = 6

6

2

Obtener el resto del dividendo

Dividendo = 13976

1 + 3 + 9 + 7 + 6  = 26

2 + 6 = 8

8

(lo anotamos en el hueco izquierdo del aspa, figura 3)

3

Obtener el resto del dividendo a partir de los resultados del paso 1: (divisor x cociente) + resto

(5 x 4) + 6 = 26

2 + 6 = 8

8

(lo anotamos en el hueco derecho del aspa, figura 3)

4

Comparar los resultados de los pasos 2 y 3

La división ha pasado la prueba del nueve

  

            Como ya mencioné anteriormente, la prueba del nueve es condición necesaria pero no suficiente para establecer que una operación algebraica está bien realizada. Por tanto, si no se supera la prueba del nueve la operación tendrá un error pero, si se supera no se tiene una garantía plena de la validez del resultado. Se pueden dar varios casos:

- Un caso en el que la prueba fracasa se da cuando se altera el orden de las cifras del resultado. Así, en la multiplicación anterior el resultado correcto era 200226. Cualquier alteración del orden de estas cifras también pasaría la prueba del nueve, por ejemplo 200262.

- Otro caso de fallo se da cuando se obtiene un resultado erróneo cuyo resto coincide con el del resultado correcto, por ejemplo, para el caso de la misma multiplicación, un resultado erróneo como 200046 también pasaría la prueba del nueve.

- Por último, si el resultado tuviera un 9, al cambiarlo por un cero (o viceversa) también pasaría la prueba.

 

 

 

Orígenes de la prueba del nueve

 

            A punto de comenzar el último cuarto del siglo VIII d. C, año 773, sabios procedentes de la India, territorio invadido por los árabes a comienzos de ese siglo, se presentaron en Bagdad ante el califa al-Mansur y le ofrecieron sus conocimientos astronómicos y matemáticos así como los escritos en sánscrito (la antigua lengua de los brahmanes) que recogían dichos conocimientos. Es probable que entre estos escritos se encontrara la obra del astrónomo y matemático indio Brahmagupta (598-670) que, en lo referente a la matemática, contenía el principio de la numeración decimal posicional, el cero, los métodos de cálculo y los fundamentos del álgebra india. El califa retuvo a los sabios indios en su palacio y ordenó que se tradujeran al árabe estos conocimientos y que se escribiera una obra que pudieran tomar los árabes como base para sus estudios astronómicos.

         Pronto reconocieron los árabes la superioridad del método de cálculo indio. Alrededor de medio siglo después (c. 815), durante el califato de al-Mamun (hijo Harun al-Rashid, califa que inspiró “las mil y una noches”) se estableció en Bagdad la Casa de la Sabiduría combinando en el mismo espacio una academia y una biblioteca. En este lugar el matemático al-Khwarizmi[1] (783 – c. 850) se hizo célebre por dos obras que contribuyeron al conocimiento de las cifras y los métodos de cálculo de origen indio. La primera de estas obras titulada “Transposición y reducción” (Al jabr wa’l muqābala) es un tratado de matemáticas elementales para resolver cuestiones prácticas como herencias, legados, operaciones comerciales, repartos, etc. A este libro se le debe el origen de la palabra álgebra, por transformación de la primera palabra árabe del título, aunque sólo la primera parte se ocupa del álgebra elemental, mientras que las otras dos se dedican a mediciones y herencias. Sin embargo, es la segunda obra de este matemático la que interesa en cuanto a la prueba del nueve.

            Mientras que la primera obra de al-Khwarizmi ha llegado hasta nosotros tanto en su versión árabe como en una traducción latina elaborada en la Edad Media por Gerardo de Cremona, el original de la segunda obra, titulada “Libro de la adición y la sustracción según el cálculo de los indios” (Kitāb al jāmi’ wa’l tafrīq bī hisāb al hind), se ha perdido aunque quedan traducciones latinas realizadas a partir del siglo XII. Se trata del primer libro árabe conocido en el que se dan explicaciones detalladas, con numerosos ejemplos, de la numeración decimal posicional y de los métodos de cálculo de origen indio, incluyendo la prueba del nueve. El siguiente fragmento de la obra de al-Khwarizmi, tomado de M. Ballieu (citado en la bibliografía), explica la prueba:

 

Sello de la URSS conmemorativo del

duodécimo centenario del nacimiento

de al-Khwarizmi (año 1983)

 

“…. Y cuando quieras multiplicar un número cualquiera por otro número y quieras hacer la prueba (….), divide por 9 el número que has multiplicado, y lo que sobre de este lado de 9, guárdalo. De igual manera, divide el segundo número por 9, y lo que sobre de este lado de 9, guárdalo. A continuación, multiplica lo que te sobró la primera vez por lo que te sobró la segunda, y elimina de este resultado todo lo que, reunido, dé 9, si es que lo hay, y si no lo hay, lo que quede será la marca. Pero si hay 9, echa fuera 9 y guarda lo que quede, y entiende que ésa será la marca. Después, multiplica uno por otro los números que has de multiplicar y divide el producto por 9, y si lo que queda es lo mismo que lo que te he dicho al respecto de la marca, sabe que has acertado. Si no es lo mismo, comprende que te has equivocado”

 

            El prestigio de al-Khwarizmi ha sido tal que su nombre latinizado ha dado lugar al término algoritmo, conjunto ordenado y finito de operaciones que permite hallar la solución de un problema. La prueba del nueve se puede considerar un algoritmo.

            Leonardo Fibonacci, llamado Leonardo de Pisa (c. 1170 – 1250), viajó por los países árabes del Mediterráneo donde aprendió a utilizar el sistema de cálculo transmitido por al-Khwarizmi. Fibonacci vio que era muy superior al procedimiento utilizado en Occidente basado en el ábaco. Regresó a Italia en el 1200 y en 1202 publicó lo que había aprendido en el Liber abaci (libro del ábaco). Consta de 15 capítulos de los que lo siete primeros están dedicados al cálculo mediante el sistema de numeración posicional. En el capítulo 5 expone un ejemplo y una demostración de la prueba el nueve e indica que también es posible utilizar la prueba por 7 y por 11. La influencia de esta obra fue muy importante en la implantación en Occidente del sistema de numeración indo-árabe.
 
 

 

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[1] Dada mi ignorancia al trasladar los nombres árabes al castellano, recojo aquí las formas en las que me he encontrado escrito el nombre de este matemático en las referencias citadas al final: 1) Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi; 2) Abū Ja’far Muhammad Ben Mūsā al Khuwārizmī; 3) Ibn Mūsā al-Khwārizmī; 4) Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi; 4) Abu Abdallah Muammad ibn Mūsā al-Jwārizmī.