Pi

 

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Según el Diccionario de la Lengua Española (RAE, 22ª Ed.): 1. Décimo sexta letra del alfabeto griego (П, п) que corresponde a la p latina. 2. Mat. Símbolo de la razón de la circunferencia a la del diámetro (Simb. п).

 

La segunda acepción se refiere a todas las circunferencias, grandes, medianas o pequeñas y quiere decir que si dividimos la longitud de la circunferencia y el diámetro de la misma obtenemos siempre un mismo número que se simboliza con la letra griega п. Podemos comprobarlo de la siguiente forma: Con un trozo de hilo rodeamos una moneda  y cortamos lo que sobre. A continuación  situamos el hilo sobre una superficie horizontal estirado y medimos su longitud con una regla. Seguidamente medimos el diámetro de la moneda; el cociente entre las dos medidas es el número pi. Lo interesante del caso es que si hacemos la misma experiencia con otra circunferencia cualquiera obtenemos el mismo valor, por ejemplo, midiendo la circunferencia de una lata de refresco.

El valor de pi es 3’14159...., tiene infinitos decimales aunque suele ser suficiente, para la mayoría se los cálculos en los que se encuentra implicado, tomar un valor de 3’1416. Han sido muchos los científicos que han dedicado tiempo y esfuerzo en determinar decimales del número pi con objeto de conocer la naturaleza del número amén de demostrar maestría en el cálculo. Hoy día conocemos dicha naturaleza y decimos que pi es un número irracional trascendente.

Los números irracionales son aquellos que pueden expresarse en forma decimal siendo infinitas las cifras tras la coma, sin que se reproduzcan nunca en el mismo orden. Veamos dos números con infinitos decimales: siete octavos y la raíz cuadrada de 2:

7/8 = 1’14287142871428714287....

= 1’41421356237....

Como vemos, 7/8 tiene un desarrollo decimal periódico ya que la sucesión 14287 se sucede indefinidamente a la derecha de la coma; se trata de una fracción ordinaria, también llamado número racional. Sin embargo, los decimales que aparecen al calcular la raíz cuadrada de 2 no obedecen este tipo de regla. No hay ningún procedimiento (si no es el cálculo explícito) que permita saber de antemano cuál será la cifra que ocupe una determinada posición decimal al no ser periódico el desarrollo; se trata de un número irracional.

Sin entrar en las definiciones de los números basadas en si son o no soluciones de ecuaciones algebraicas, podemos decir que hay dos tipos de números irracionales: aquellos que se pueden expresar por medio de radicales (como la raíz cuadrada de 2, la raíz cuadrada de 3, la raíz cúbica de 7, etc...) y aquellos que no se expresan por dicho medio. Estos últimos números son llamados trascendentes, por ejemplo el número “e” (base del sistema de logaritmos inventado en 1617 por el matemático escocés John Neper e igual a 2’7182818...), el “log 2” (logaritmo decimal de 2 cuyo valor es 0’30103..), el cos 25º (razón trigonométrica “coseno del ángulo de 25º” igual a 0’9063077...) y el número pi que quizá sea el más famoso de ellos.

Veamos a continuación una pequeña e incompleta historia de un número que se conoce desde la antigüedad. Fue descubierto independientemente por las primeras civilizaciones, así, los egipcios le asignaban un valor de 4x(8/9)2, es decir, 3’16 (papiro Rhind o de Ahmes, 1650 a.C.); los babilonios 3 + 1/8 que equivale a 3’125 (tablillas de Susa, 1600 a. C.) y en la Biblia se intuye un valor de 3 (Reyes 1-VII-23). Sin embargo, en occidente no fue hasta la aparición de Arquímedes (287-212 a.C.) cuando se obtuvo un valor óptimo para pi. Arquímedes nació y vivió en Siracusa (Sicilia) aunque se formó en Alejandría (Egipto), centro intelectual del mundo occidental en el siglo III a.C. Demostró que el número pi está comprendido entre 3 + 10/71 (= 3’14084) y 3 + 10/70 (= 3’14285), y obtuvo para las áreas y los perímetros de los polígonos regulares inscritos y circunscritos de n y 2n lados relaciones de recurrencia que permiten calcular el número pi con una aproximación dada (método de cálculo hoy conocido por el nombre de algoritmo de Arquímedes).

Después de la muerte de Arquímedes no se produjeron avances significativos en cuanto al número pi se refiere ni durante el Imperio Romano ni después de su caída en la Europa medieval. No fue así en otras partes del mundo. Se infiere que la civilización Maya (península del Yucatán en América central) tenía un valor bastante exacto, mejor que el utilizado por los europeos hasta el siglo XVI, ya que desarrollaron un calendario muy exacto que requiere del conocimiento del número pi. Por otra parte, en China en el siglo V d.C. un astrónomo llamado Tsu Chung Chi calculó que pi se acercaba enormemente a 355/113 (= 3’14159). En occidente hubo que esperar más de 1000 años para alcanzar este nivel.

En el siglo XV los árabes conocían 17 decimales exactos del número pi, muy por delante de las 9 cifras conocidas en Europa gracias a F. Viete en el XVI. A finales del siglo XVI destaca el matemático alemán Ludolph Van Cenlem (1540-1610) que determinó 35 decimales del número pi. Como epitafio pidió que escribiesen en su lápida las 35 cifras que había calculado. Los alemanes llaman a pi el número ludofiano.

La invención del cálculo por parte de I. Newton y G. W. Leibniz  permitió acelerar el deducción del número pi, conocido como tal desde que en 1706 William Jones fuera el primero en utilizar el símbolo griego para denotar la relación entre la circunferencia y su diámetro. Además, en el siglo XVIII se empezó a atisbar la verdadera naturaleza del número, así J. H. Lambert demostró que pi es un número irracional, aunque no fue hasta 1882 que F. Lindemann no demostrara que pi es un número trascendente. Durante el siglo XIX cabe destacar también al matemático inglés William Shanks que invirtió 20 años en obtener 707 cifras decimales del número pi. Desgraciadamente Shanks incurrió en un error en el 528ª decimal y a partir de éste están todos mal. Afortunadamente para él el error no se descubrió hasta 1945 por otro matemático inglés llamado F. D. Ferguson.

Ya entrados en el siglo XX, en 1947 dos matemáticos norteamericanos J. W. Wrench, Jr. y L. B. Smith llegaron a los 1120 decimales utilizando una calculadora preelectrónica. A partir de este momento el cálculo del número pi se ha dejado en manos de ordenadores. Así, en 1949, uno de los primeros ordenadores, el ENIAC, calculó 2037 dígitos de pi trabajando durante 70 horas. En 1961 D. Shanks (sin relación con W. Shanks) y Wrench obtuvieron en 8 horas 23 minutos, 100.265 cifras en un IBM 7090. En 1997, Yasumasa Kanada y Diasuke Takahashi, de la Universidad de Tokio, obtuvieron 51.539.600.000 cifras de pi utilizando un HITACHI SR2201 con 1024 procesadores. El 20 de septiembre de 1999, Kanada y Takahashi consiguen 206.158.430.000 decimales.

 

Para calcular pi se utilizan algoritmos o procedimientos estadísticos. Un algoritmo es un método de resolución de problemas complicados mediante el uso repetido de otro método de cálculo más sencillo. Un ejemplo básico de algoritmo es el cálculo de la división larga en aritmética. En el caso del número pi dos ejemplos sencillos son el algoritmo de John Wallis (1616-1703) y el algoritmo de G. W. Leibniz (1646-1716):

- Algoritmo de Wallis:  п = 2 x (2/1 x 2/3 x 4/3 x 4/5 x 6/5 x 6/7 ....)

- Algoritmo de Leibniz: п = 4 x (1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 ....)

En el caso de los procedimientos estadísticos (no dejan de ser algoritmos) dos ejemplos curiosos son el método Montecarlo y el método de la aguja de Buffon sobre el que me extenderé un poco más. En el método Montecarlo se trata de unos monos que tiran dardos sobre un tablero cuadrado con una circunferencia inscrita (el objeto de que sean monos es que los lanzamientos sean aleatorios). Con una serie significativa de repeticiones la proporción entre los que caen en el círculo y fuera de él tiende a п/4, y así obtenemos el valor de п de una forma estadística.

El método de la aguja de Buffon se debe a Georges Louis Leclerc, conde de Buffon (1707-1788), naturalista francés que se interesó también por la matemática. En su “Ensayo de aritmética moral”  de 1777 se encuentra el origen de las llamadas probabilidades geométricas. Leclerc demostró que si se lanza, al azar, una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas por una distancia D (D debe ser mayor o igual a L), la probabilidad de que la aguja corte una línea es Lп/2D.

A continuación un ejemplo de aplicación: primero sobre un folio se dibujan líneas horizontales separadas 2 cm entre sí. Preparamos también 4 trozos de palillo de dientes de 1 cm de longitud cada uno. A continuación tiraremos los 4 trozos sobre el papel; si un palillo cae encima o atraviesa una de las líneas se anota un punto. Se anota el número de puntos en, por ejemplo, 50 lanzamientos de los cuatro palillos. El número pi se obtiene dividiendo el número total de palillos lanzados (200) entre el total de puntos conseguidos.

¿Cómo va de rápida la convergencia? ¿Cuántas veces hay que tirar la aguja o palillo?

La convergencia es lenta.... Para un millón y medio de lanzamientos se pueden conseguir, con una seguridad del 90%, los dos primeros decimales de pi. ¡No debemos desanimarnos ante el dato abrumador y recordemos, como acabamos de ver, que antes de mediados del siglo XX la determinación de las cifras decimales de pi se realizaba mediante “cálculo manual”!. No obstante para los poco pacientes ofrezco tres soluciones: en primer lugar en la siguiente dirección de Internet: http://ciencianet.com/buffon.html pueden conseguir un programa (sólo ocupa 12 KB) llamado Buffon que simula la experiencia descrita anteriormente ahorrando el lanzamiento continuado de la aguja. Les propongo un juego: encontrar la secuencia de dígitos correspondiente a la fecha de su nacimiento (o cualquier otra secuencia de números) entre las cifras decimales de pi. Por último, les ofrezco las primeras 1000 cifras decimales  de pi:

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816

4062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317

2535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097

5665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648

2133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643

6789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195

3092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938

1830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027

7053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134

2757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923

5420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983

7297804995105973173281609631859502445945534690830264252230825334468503

5261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490

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Para terminar, un pasaje de la novela “Contacto” de Carl Sagan donde especula con la idea de la existencia de mensajes ocultos en la secuencia de decimales de pi.

 "-...cierta idea de qué es lo sobrenatural para nosotros. Se refiere a pi, o sea la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. Esto lo conoces, por supuesto, como también sabes que pi es inconmensurable. No hay criatura en el universo, por inteligente que sea, que pueda calcular pi hasta su último dígito porque no existe, sino que las cifras se prolongan hasta el infinito. Los matemáticos humanos realizaron el esfuerzo de calcularlo hasta [ ...] su diez mil millonésimo dígito. Me imagino que no te sorprenderá enterarte que otros matemáticos han avanzado aún más. Bueno, cuando se llega a diez a la vigésima potencia, ocurre algo. Desaparecen los números fortuitos, y durante un período increíblemente prolongado se obtiene sólo una larga serie de unos y ceros.

"Distraídamente, él trazó un círculo en la arena con un dedo del pie.

"-¿Los ceros y los unos por último se interrumpen y se vuelve a la secuencia de números al azar? – Al ver una expresión de aliento en el rostro masculino, ella se apresuró a seguir. – Y la cantidad de ceros y de unos, ¿es producto de los números primos?

"- Sí, de once de ellos.

"- ¿Sugieres que existe un mensaje en once dimensiones oculto en lo más profundo del número pi, que alguien del universo se comunica mediante... la matemática? Explícame más, porque me cuesta comprender. La matemática no es arbitraria, o sea que pi debe tener el mismo valor en cualquier parte. ¿Cómo es posible esconder un mensaje dentro de pi? Está inserto en la trama del universo.

"- Exacto.

"Se quedó mirándolo.

"Hay algo todavía más interesante. Supongamos que la secuencia de ceros y unos aparece sólo en la matemática de base diez y que los seres que efectuaron este descubrimiento tenían diez dedos. Sería como si, durante millones de años, pi hubiese estado aguardando la llegada de matemáticos con diez dedos y veloces computadoras. Por eso pienso que el Mensaje venía destinado a nosotros.

"- Pero eso no es más que una metáfora, ¿verdad? No se trata de pi ni de diez elevado a la vigésima potencia. Y ustedes en realidad no tienen diez dedos.

"- Te diría que no. – Sonrió.

"- Por Dios, ¿qué es lo que dice el Mensaje?"

Felipe Moreno Romero

(fresenius1@gmail.com)

Bibliografía

- Ifrah, G. (1997). Historia universal de las cifras. Madrid: Espasa.

- Santaló, L. A. (1989). Las secciones indiscretas. Ciencia hoy. Nº 2, Febrero. http://www.ciencia-hoy.retina.ar

- Campos, J. (1999). Algoritmos probabilistas. http://www.cps.unizar.es/~jcampos

- Llorens M., R. Historietas sobre pi. http://webs.adam.es/rllorens/pihome.htm

- Peral M., M. Apuntes acerca de la especulación sobre posibles mensajes ocultos en los números inconmensurables. http://webs.adam.es/rllorens/casopi.htm

- La ciencia es divertida. http://ciencianet.com/index.html

- Las matemáticas en el antiguo Egipto. http://www.egiptologia.org

- El número pi.  http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.bullas/dp/matema/conocer/numpi.htm (link roto)

- Real Academia Española (2001). Diccionario de la lengua española. Madrid: Espasa.

 

Enviado a “La Moraleja” (revista trimestral informativo-cultural editada por el colectivo “La Moraleja” de Villanueva del Arzobispo, Jaén). Publicada  en el nº 43 de dicha revista, correspondiente al mes de Marzo de 2004, pp 38-39.