Multiplicar o dividir sólo con la tabla del dos

 

Se debe hacer todo tan sencillo como sea posible

pero no más sencillo.

Albert Einstein

 

 

Opciones de descarga

a) Si desea una copia (en formato pdf) de este artículo solicítelo sin compromiso a fresenius1@gmail.com. Indique claramente el título del artículo.

b) También puede descargarlo directamente (se abrirá en una ventana nueva al pinchar sobre la imagen)

 

 

Creative Commons License

 

Supongamos que hay una persona cuyos únicos conocimientos de las operaciones que se pueden hacer con los números sean la suma, la resta y la tabla del dos. Pensaremos que esta persona está muy limitada en su aritmética y que es incapaz de hacer cálculos rápidos debiendo recurrir sin embargo a procedimientos largos con objeto de obtener un resultado que cualquiera de nosotros obtendría rápidamente con una multiplicación o con una división. No obstante, existe un procedimiento que con el suficiente entrenamiento puede ser bastante rápido y que tiene por objetivo obtener el resultado de cualquier multiplicación o división sin más conocimientos que la suma y la tabla del dos.

            Empecemos por algo sencillo como multiplicar 64 por 14 (recordemos que el multiplicando es el 64 y el multiplicador es el 14). Escribiremos dos filas de números, la primera es una sucesión que empieza en el uno y que sigue siempre con el doble del último número escrito hasta que aparezca el 64, es decir: 1, 2, 4, 8, 16, 32 y 64. Esta fila es común en todos los casos de este procedimiento y en adelante la llamaré la sucesión de los dobles. La segunda fila empieza por el multiplicador (14) y sigue también en cada paso con el doble del último número escrito, es decir: 14, 28, 56, 112, 224, 448 y 896. Las dos filas para esta multiplicación y su resultado quedarán así:

 

1

2

4

8

16

32

64

14

28

56

112

224

448

896

Resultado de 64 x 14 = 896

 

¡Rápido y sencillo! pues calcular el doble de un número lo es en realidad. Pero, claro está, se ha empezado por un ejemplo preparado pues lo más normal es que el multiplicando no aparezca en la sucesión de los dobles. Por ejemplo, multipliquemos 103 por 21. Si vemos la sucesión de los dobles: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ……., el 103 no aparece aunque no hay que desesperar. Paramos la sucesión en el 64 pues el 128 es ya mayor al nuestro multiplicando (103). La segunda fila se elabora de la misma forma que antes pero empezando obviamente por el nuevo multiplicador, 21. Todo quedaría como sigue:

 

1

2

4

8

16

32

64

21

42

84

168

336

672

1.344

 

Ahora debemos encontrar en la primera fila (no es difícil) una combinación de números que sumados nos dé 103. Si nos fijamos, en nuestro ejemplo 103 = 64 + 32 + 4 + 2 + 1. Pues bien, la suma de sus correspondientes parejas en la segunda columna es el resultado buscado, es decir,

 

1

2

4

8

16

32

64

21

42

84

168

336

672

1.344

Resultado de 103 x 21 = 21 + 42 + 84 + 672 + 1.344 = 2.163

 

            Un procedimiento que con un poco de práctica puede ser realmente rápido. La división se hace de la misma forma, por el procedimiento de las duplicaciones sucesivas pero en sentido inverso. Por ejemplo, dividamos 1.311 entre 23 (recordemos que 1.311 es el dividendo, 23 es el divisor y el resultado obtenido es el cociente). Si vamos a la inversa, empezamos por la fila que va doblando cada vez el número y que empieza por el divisor, 23:

 

23

46

92

184

368

736

 

Nos hemos parado en 736 pues el siguiente doble, 1.472, ya se pasa de la cantidad que queremos dividir que es 1.311. Colocamos ahora en la segunda fila la sucesión de los dobles

 

23

46

92

184

368

736

1

2

4

8

16

32

 

Igual que en la multiplicación, debemos encontrar en la primera fila una combinación de números que sumados nos den el dividendo, 1.311. Esta combinación sería 23 + 184 + 368 + 736 = 1.311. Como ya nos podemos imaginar, la suma de sus correspondientes parejas en la segunda columna es el resultado buscado, es decir

 

23

46

92

184

368

736

1

2

4

8

16

32

Resultado de 1.311 : 23 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57

 

Cuando la división no es exacta, es decir, cuando el dividendo y el divisor no son múltiplos, el procedimiento se alarga en extremo debiéndose recurrir a las fracciones si se desea conocer el resultado exacto. Sin embargo, se puede utilizar el procedimiento para calcular el cociente y dar el resto. Veamos la división de 1.276 entre 25. Las dos filas correspondientes serían:

 

25

50

100

200

400

800

1

2

4

8

16

32

           

Cuando no sea posible encontrar en la primera fila una combinación de números que nos dé el dividendo (1.276 en nuestro caso), podremos encontrar sin embargo la que más se acerque a dicho número. Sabremos entonces que la división tiene resto. En el ejemplo la combinación que más se acerca es 800 + 400 + 50 + 25 = 1.275, siendo el resto lo que falta hasta 1.276, es decir 1. El resultado de la división será, por tanto:

 

25

50

100

200

400

800

1

2

4

8

16

32

Resultado de 1.276 : 25 = 1 + 2 + 16 + 32 = 51, resto = 1

 

            Y ahora lo mejor. Todo lo expuesto aquí se puede realizar también con otro tipo de numeración. Imaginemos por un momento un sistema de numeración en el que cada unidad de millón sea una figura que represente a un hombre arrodillado levantando sus brazos hacia el cielo; cada  centena de millar sea la figura de una rana o un renacuajo con la cola caída; cada decena de millar sea la figura de un dedo índice levantado pero ligeramente doblado en su extremo; cada unidad de millar sea una figura que represente una flor de loto; cada centena sea la figura de una espiral; cada decena sea una especie de asa o de letra U escrita hacia abajo y, por fin, cada unidad sea un simple trazo vertical. Por ejemplo, en la figura aparecen anotados los números 4.622 y 215.460 según esta manera; como el segundo número no tiene unidades no se representa nada pues el cero no forma parte de este sistema de numeración.

Pues bien, si cambiamos los números indo-arábigos que hemos utilizado en las operaciones por los que acabo de describir y calculamos como hemos visto, estaremos multiplicando y dividiendo como lo hacían en el Egipto de los faraones hace más de 4.000 años.

Este trabajo se finalizó el 23 de octubre de 2006 en

Villanueva del Arzobispo, Jaén (España)

 

 

Felipe Moreno Romero

fresenius1@gmail.com

 

 

Este artículo fue enviado a “La Moraleja” (revista trimestral informativo-cultural editada por el colectivo “La Moraleja” de Villanueva del Arzobispo, Jaén) el 22 de octubre de 2006. Publicado en el nº 55 de dicha revista, correspondiente al mes de  marzo de 2007, pp. 38-39.