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Notación científica de un número.

     La notación científica representa un número utilizando potencias de base diez. El número se escribe como un producto

A · 10 n

siendo A un número mayor o igual que uno y menor que 10, y n un número entero. La notación científica se utiliza para poder expresar fácilmente números muy grandes o muy pequeños. También es muy útil para escribir las cantidades físicas pues solo se escriben en notación científica los dígitos significativos.

Un número en notación científica se expresa de manera que contenga un dígito (el más significativo) en el lugar de las unidades, todos los demás dígitos irán después del separador decimal multiplicado por el exponente respectivo.

     Ejemplos:

· Distancia media Tierra-Luna = 384.000.000 m

· Distancia media Tierra-Luna = 3,84 · 10 8 m  (tres cifras significativas)

 

· Radio del átomo de hidrógeno = 0,000000000053 m

· Radio del átomo de hidrógeno = 5,3 · 10 -11 m (dos cifras significativas)

 

· Velocidad de la luz en el vacío = 299.792,458 km/s

· Velocidad de la luz en el vacío = 2,99792458 · 10 8 km/s (9 cifras significativas)

 

· G = 0,000000000066742 N·m2/kg2

 · G = 6,6742 · 10 -11 N·m2/kg2 (5 cifras significativas)

Cifras significativas en cálculos numéricos.

     Cuando se realizan cálculos aritméticos con dos o más números se debe tener cuidado a la hora de expresar el resultado ya que es necesario conocer el número de dígitos significativos del mismo. Teniendo en cuenta que los números con los que operamos son los mejores valores de las cantidades que se hayan medido, no es admisible que se gane o que se pierda incertidumbre mientras que se realizan operaciones aritméticas con dichos números.   Se pueden establecer algunas sencillas reglas cuya aplicación intenta cumplir con esta condición aunque no siempre se consigue. Analizaremos tres situaciones: realización de sumas y diferencias; productos y cocientes; logaritmos y antilogaritmos.

 

     Cifras significativas en sumas y diferencias

     Regla 7. En una suma o una resta el número de dígitos del resultado viene marcado por la posición del menor dígito común de todos los números que se suman o se restan.

     Por tanto, en una adición o una sustracción el número de cifras significativas de los números que se suman o se restan no es el criterio para establecer el número de cifras significativas del resultado.

     Por ejemplo:

     (a)   4,3 + 0,030 + 7,31 = 11,64 ≌ 11,6

     (b)   34,6 + 17,8 + 15 = 67,4 ≌ 67

     (c)   34,6 + 17,8 + 15,7 ≌ 68,1

 

     En los ejemplos (a) y (c) el menor dígito común a los sumandos es la décima (primer decimal), por tanto el resultado debe venir expresado hasta dicho decimal. En el ejemplo (b) el menor dígito común a los tres sumandos es la unidad, por tanto el resultado debe venir expresado hasta la unidad.

     Analicemos con más profundidad las consecuencias de la aplicación de la regla 7. De partida, se suele asumir que es incierto en una unidad el último dígito de cada número que interviene en una operación. Así, la mayor de las incertidumbres en los ejemplos (a) y (c) es ±0,1. En el ejemplo (b) la mayor de las incertidumbres en los sumandos es ±1. ¿Son esas también las incertidumbres en los resultados? En principio es común asumir dichas incertidumbres pero es sencillo comprobar que esto no siempre es cierto como veremos a continuación.

     Según la teoría de propagación de errores la incertidumbre del resultado de una combinación lineal como la siguiente

 

es

 

donde  ΔaΔb, … … son las incertidumbres absolutas de a, b,…

     Para poder aplicar esta expresión las medidas a, b,..., deben ser independientes y sus errores, aleatorios. En los ejemplos anteriores las incertidumbres serían:

(a)

(b)

(c)

     Luego, al aplicar el convenio de cifras significativas la tendencia sería asumir que la incertidumbre del resultado en el caso (c) es de ±0,1 cuando en realidad es del doble.

 

     Cifras significativas en productos y cocientes

     Regla 8. En un producto o una división el resultado debe redondearse de manera que contenga el mismo número de dígitos significativos que el número de origen que posea menor número de dígitos significativos.

     Por tanto, a diferencia de la suma o la resta, en la multiplicación o la división el número de dígitos significativos de las cantidades que intervienen en la operación sí es el criterio a la hora de determinar el número de dígitos significativos del resultado.

     Por ejemplo:

(a)  

(b)  

(c)  

     En los tres ejemplos expuestos el menor número de cifras significativas de los diferentes factores que intervienen en las operaciones es dos: se trata concretamente del número 24 en los ejemplos (a) y (b) y del número 0,25 en el ejemplo (c). Por tanto los resultados se deben redondear a dos cifras significativas.

     Analicemos de nuevo con mayor profundidad las consecuencias de la aplicación en este caso de la regla 8. Si, según el convenio de cifras significativas, asumimos que es incierto en una unidad el último dígito de cada número que interviene en cada operación, las incertidumbres absolutas y relativas son las que aparecen en la tabla nº 1.

 

       Tabla 1.

 

Número

Incertidumbre

Incertidumbre relativa

(a)

24

1

1/24

4,52

0,01

1/452

100,0

0,1

1/10000

(b)

24

1

1/24

4,02

0,01

1/402

100,0

0,1

1/10000

(c)

3,14159

0,00001

-

0,25

0,01

1/25

2,352

0,001

1/2352

 

     En el caso (c) 3,14159 representa al número π, que se puede tomar con un número de decimales suficiente para  que no sea precisamente este número el que determine las decisiones a tomar respecto a las operaciones en las que interviene.

     Según la teoría de propagación de errores la incertidumbre del resultado de una expresión como la siguiente:

es

donde Δx, Δy, … son las incertidumbres absolutas de x, y, … Además, εx, εy, …, son las incertidumbres relativas en tanto por uno de x, y, …

     Al igual que ocurría en el caso de la suma o diferencia, para poder aplicar esta expresión las medidas x, y, … deben ser independientes y sus errores, aleatorios. En los ejemplos anteriores, teniendo en cuenta los datos de la tabla nº 1, las incertidumbres de los resultados serían:

 

     (a)  Δq = 1,0848 · 0’0417599 = 0,0453 ≌ 0,04

     (b)  Δq = 0,9648 · 0,0417755 = 0,0403 ≌ 0,04

     (c)  Δq = 0,4618 · 0.08 = 0,0369 ≌ 0,04

 

     Es decir, en los tres ejemplos la incertidumbre en el resultado está en el dígito correspondiente a la centésima, aunque en ningún caso el valor de dicha incertidumbre sea la unidad. Según estos resultados los ejemplos (b) y (c) sí están bien redondeados a dos cifras significativas, pero el ejemplo (a) no lo está ya que debería redondearse a tres cifras significativas (1,08 en lugar de 1,1).

 

     Cifras significativas en logaritmos y antilogaritmos

     Regla 9. En el logaritmo de un número se deben mantener tantos dígitos a la derecha de la coma decimal como cifras significativas tiene el número original.

     Regla 10. En el antilogaritmo de un número se deben mantener tantos dígitos como dígitos hay a la derecha de la coma decimal del número original.

     Veamos unos ejemplos con logaritmos de base 10:

 

     (a) log 3,53 = 0,5477747 ≌ 0,548

     (b) log 1,200 · 10 -5 = - 4,9208188 ≌ - 4,9208

     (c) Anti log 8,9 = 10 8,9 = 7,94328 · 10 8 ≌ 8 · 10 8

     (d) Anti log 8,900 = 10 8,9 = 7,94328 · 10 8 ≌ 7,94 · 10 8

 

     En el ejemplo (a) el número de cifras significativas del número 3,53 es de tres y, por tanto, el número de decimales que tiene su solución es tres. El número del ejemplo (b) tiene cuatro cifras significativas y su logaritmo se expresa con 4 decimales. En cuanto a los antilogaritmos de los ejemplos (c) y (d), el primero tiene una sola cifra decimal y su solución se expresa con una cifra significativa; el segundo tiene tres cifras decimales y tres son las cifras significativas del resultado.

     Con objeto de analizar cómo es la precisión de los resultados expresados por aplicación de las reglas 9 y 10, en la tabla nº 2 se recogen las incertidumbres absolutas y relativas de los números de partida

 

    Tabla 2.

 

Número

Incertidumbre

Incertidumbre relativa

(a)

3,53

0,01

1/353

(b)

1,200 · 10 -5

10 -8

1/1200

(c)

8,9

       0,1

1/89

(d)

8,900

0,001

1/8900

 

 

     Como vemos, como se ha venido haciendo hasta ahora, se asume que la incertidumbre absoluta de los números de partida está en el último dígito y en una unidad de dicho dígito. Según la teoría de propagación de errores, para un conjunto de medidas independientes, x, y,…, w, cuyos errores o incertidumbres absolutas son Δx, Δy,..., Δw, y que son utilizadas para calcular la magnitud q de forma que

q = f(x, y,…, w)

 

entonces, si los errores son aleatorios, el error de q es la suma en cuadratura

 

 

 

     De esta expresión general derivan las expresiones utilizadas en los casos anteriores. En el caso que nos ocupa, empezaremos por los logaritmos:

 

 

 

 donde Δx y εson, respectivamente, las incertidumbres absoluta y relativa en tanto por uno de x.

     Así, en los ejemplos anteriores, teniendo en cuenta los datos de la tabla nº 2 tenemos que las incertidumbres de los resultados expresados son:

 

     (a) Δq = 0,00123 ≌ 0,001

     (b) Δq = 0,0003619 ≌ 0,0004

 

     Vemos que en el ejemplo (a) la incertidumbre está en el tercer decimal que es precisamente hasta donde se ha redondeado el resultado. En el ejemplo (b) habría que redondear hasta la décima de millar, como se ha hecho en realidad al aplicar la regla 9.

 

     En el caso de los antilogaritmos:

 

 

 

     Teniendo en cuenta los datos de la tabla nº 2, las incertidumbres en los resultados de los ejemplos (c) y (d) son:

     (c) Δq = 1,829 · 10 8 ≌ 2 · 10 8

     (d) Δq = 1,829 · 10 6 ≌ 2 · 10 6

 

     Por tanto la última cifra incierta en el ejemplo (c) es la centena de millón y en el ejemplo (d) la unidad de millón, siendo correcta la aplicación de la regla 10.

 

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Conclusión

            Como hemos visto, el convenio de cifras significativas no es del todo satisfactorio. Así, la realización de operaciones aritméticas con cifras significativas hace que en ocasiones aumente la incertidumbre respecto a lo esperado, que es considerar en una unidad la incertidumbre del último dígito de un número. Es claro que este aumento de la incertidumbre será tanto mayor cuanto mayor sea el número de operaciones que encadenemos y, por tanto, sería conveniente determinar el valor de la incertidumbre si se quiere estar seguro de conocer la progresión del error cometido en las operaciones realizadas. Incluso, tal como se ha visto en algún caso, la omisión de este estudio para la simple aplicación de las reglas aquí establecidas puede llevarnos a la pérdida de cifras significativas.