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Redondeo de números

     La aplicación práctica de las reglas anteriores ha requerido del redondeo[1] de números para ofrecer el resultado con el número de cifras significativas estipulado. Es decir, en el proceso de redondeo se eliminan los dígitos no significativos de un número, pero siguiendo unas reglas que se deben aplicar al primero de los dígitos que se desea eliminar.

     Regla 11. Si el primer dígito que se va a eliminar es inferior a 5, dicho dígito y los que le siguen se eliminan y el número que queda se deja como está.

     Por ejemplo, los siguientes números se han redondeado a 4 cifras significativas:

     1,4142136… → 1,4142136… → 1,414

       2,4494897... → 2,4494897...→ 2,449

 

     Regla 12. Si el primer dígito que se va a eliminar es superior a 5, o si es 5 seguido de dígitos diferentes de cero, dicho dígito y todos los que le siguen se eliminan y se aumenta en una unidad el número que quede.

     Por ejemplo, los siguientes números se han redondeado a cuatro cifras significativas:

     Π = 3,1415927… → 3,1415927… → 3,142

     2,6457513... → 2,6457513...→ 2,646

 

     Regla 13. Si el primer dígito que se va a eliminar es 5 y todos los dígitos que le siguen son ceros, dicho dígito se elimina y el número que se va a conservar se deja como está si es par o aumenta en una unidad si es impar.

     Por ejemplo, los siguientes números se han redondeado a cuatro cifras significativas:

     61,555 → 61,555 → 61,56

     2,0925 → 2,0925 → 2,092

    

     Esta última regla elimina la tendencia a redondear siempre en un sentido determinado el punto medio que hay entre dos extremos. Es importante destacar aquí que cuando se establece la función de redondeo en una calculadora normalmente ésta no aplica la regla 13, es decir, si un número cumple la condición dada en dicha regla, la calculadora aumentará en una unidad el último dígito del número que quede de eliminar las cifras no significativas (es decir, la calculadora aplica en este caso la regla 12).

 

Aplicación a cálculos en problemas

     En los libros de texto de física o química lo más normal es realizar cálculos con datos cuya precisión viene indicada sólo por el convenio de cifras significativas. Así, si se deseara conocer la incertidumbre del resultado de un problema concreto se deberán aplicar las técnicas analizadas anteriormente. En cualquier caso, el resultado que se obtenga sólo debe contener dígitos significativos.

     Una práctica común en la resolución de problemas es mantener al menos un dígito de más durante los cálculos para prevenir el error de redondeo (dígito de reserva). Al trabajar hoy día con ordenadores y calculadoras se puede trabajar con más de un dígito de reserva, tantos como la calculadora pueda ofrecer, siendo importante hacer el redondeo después de que se hayan acabado los cálculos.

 

Ejemplo.

En un procedimiento de contrastado de una disolución de ácido clorhídrico con hidróxido de bario se valoraron 50,00 mL exactamente medidos de disolución de HCl que necesitaron 29,71 mL de Ba(OH)2 0,01963 M para alcanzar el punto final, usando indicador verde de bromocresol. Determinar la molaridad del HCl.

 

Solución.

Recojamos en primer lugar los datos que se dan:

-  Volumen de disolución de HCl →

-  Volumen de disolución de Ba(OH)2

-  Molaridad de disolución de Ba(OH)2

 

El proceso de neutralización ácido-base es el siguiente:

2 HCl    +    Ba(OH)2     →    BaCl2    +   2 H2O

 

Veremos primero los cálculos de forma teórica. En primer lugar se puede conocer el número de moles de Ba(OH)2 necesarios para neutralizar el HCl:

 

La relación estequiométrica dada por el proceso de neutralización ácido-base nos permite conocer el número de moles de HCl neutralizados:

 

Conocido el número de moles de HCl y el volumen en el que se encontraban al inicio, su molaridad será:

 

Por tanto,

 

Con los números será:

 

 

 

     Analicemos ahora las cifras significativas con las que hay que expresar el resultado. Si observamos el cálculo final sólo hay multiplicaciones y divisiones, por tanto, debemos redondear el resultado de manera que contenga el mismo número de cifras significativas que el factor que menos cifras significativas tenga. Como los números 2 y 1 que hay en la expresión (moles de HCl y de Ba(OH)2) son números exactos,  no entran en este cómputo siendo pues los volúmenes de HCl y de Ba(OH)2 los que limitan el resultado a 4 cifras significativas. Por tanto,

 

 

     Ahora bien, ¿podríamos estimar la incertidumbre de este resultado?

     Estimemos primero las incertidumbres de las medidas experimentales.

 

-  Volumen de disolución de HCl → 

La incertidumbre en esta medida dependerá del aparato que se haya utilizado para su medida. En principio pensaremos que la medida de los 50 mL ha requerido de un solo enrase y, por tanto, la incertidumbre absoluta está en ±0,01 mL y la relativa es de

 

-  Volumen de disolución de Ba(OH)2

El volumen de Ba(OH)2 se habrá medido con una bureta. La posición del nivel de líquido se puede estimar en una buena bureta en ±0,02 mL. Pero en la valoración la cantidad de Ba(OH)2 requiere de una lectura inicial y otra final, es decir (véase cifras significativas en sumas y diferencias),  la incertidumbre absoluta será

 

y la incertidumbre relativa

 

 -  Molaridad de disolución de Ba(OH)2

La incertidumbre de la molaridad de la disolución de reactivo es, según el dato ofrecido de ±0,00001 M. La incertidumbre relativa es

 

     Según hemos visto, cuando las medidas son independientes y sus errores aleatorios la incertidumbre en el resultado se puede estimar según la siguiente expresión

 

cuyo resultado es

 

     Es decir, la molaridad del HCl se puede expresar como

 

siendo la incertidumbre relativa


 


[1] El proceso simple de cortar un número por un dígito determinado sin tener en cuenta los dígitos que le siguen (sin redondear) se denomina truncamiento. Por ejemplo, truncar el número π a la diezmilésima sería:

3,1415927… 3,1415