- V de VIII -   

 

 

Análisis del método utilizado por Cavendish para determinar la densidad de la Tierra a partir de estos experimentos.

Pasaremos ahora a analizar el procedimiento que utilizó Cavendish para determinar la densidad de la Tierra a partir de los experimentos realizados, comprobando que se trata de un procedimiento alejado de la forma actual de resolver la cuestión. Se trata de un procedimiento de cálculo que podemos considerar característico de la época en que se hizo y que se basa relacionar las magnitudes que se miden con las mismas magnitudes en otras situaciones similares. Para empezar Cavendish relaciona el péndulo que forma la balanza de torsión con un péndulo simple de la misma longitud. Un péndulo simple vertical no se parece mucho a una viga oscilante horizontal pero resulta que los dos “péndulos” se describen matemáticamente de la misma manera al ser dos cuerpos que realizan un movimiento armónico simple. Cavendish pasa a relacionar dos fuerzas: la fuerza gravitatoria responsable del movimiento del péndulo simple y la fuerza gravitatoria responsable del movimiento de la balanza de torsión, que es la fuerza que se establece entre una pesa y una bola. Como ambas fuerzas son inversamente proporcionales al cuadrado del periodo de vibración, al relacionarlas consigue una expresión para la fuerza que se ejerce sobre la bola de la balanza en función del periodo de oscilación de la misma, que es una de las magnitudes que mide en sus experimentos.

A continuación Cavendish establece otra relación: la fuerza gravitatoria que ejerce la pesa sobre la bola y la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra sobre la bola. Al establecer esta relación aparece la otra magnitud que se mide en los experimentos, la desviación del brazo de la balanza respecto de la posición de equilibrio. Este paso, relacionar ambas fuerzas, es crucial desde un punto de vista actual pues al dividir ambas fuerzas la constante de gravitación universal desaparece, quedando en la expresión la masa de la Tierra, que permite determinar la densidad del planeta al relacionar dicha densidad con la del agua.

Al final de todo este proceso Cavendish consigue una fórmula para determinar la densidad de la Tierra, pero no se para en este punto sino que analiza una serie de correcciones que es necesario aplicar. Pasaremos a continuación a analizar con más detenimiento, desde un punto de vista actual, el proceso hasta llegar a la fórmula final.

Para empezar(*), Cavendish dice que realizará el cálculo suponiendo que barra que forma el brazo de la balanza tiene un peso(**) despreciable, es decir, las pesas no ejercen una atracción sensible sobre la barra y solo actúan sobre la bola más cercana. La distancia entre los centros de las dos bolas es de 73,3 pulgadas (1,86 m), por tanto, la distancia entre el centro de una bola y el centro del movimiento es de 36,65 pulgadas (0,93 m). Por otra parte dice que la longitud de un péndulo simple que vibra en un segundo en el lugar en el que se encuentra es de 39,14 pulgadas (0,99 m). Hay que recordar aquí algo que ya se ha dicho, lo que Cavendish considera un periodo de vibración se considera hoy como medio periodo. El periodo (T) de oscilación de un péndulo simple viene dado por la siguiente expresión,

donde L es la longitud del péndulo y g la aceleración de la gravedad. Si en esta expresión hacemos T = 2 s y consideramos que g = 9,8 m·s-2, obtenemos que la longitud del péndulo es de 0,99 m. Independientemente de que sea un periodo o medio, lo que interesa a Cavendish es que el cuadrado del periodo de oscilación de un péndulo simple es directamente proporcional a la longitud del mismo,

Consideremos ahora dos péndulos simples, uno de 39,14 pulgadas de longitud cuyo semiperiodo es de un segundo y otro péndulo de 36,65 pulgadas de longitud cuyo semiperiodo, T, queremos conocer. La relación que hay entre los cuadrados de los semiperiodos de los dos péndulos es,

de donde

Este péndulo simple de 36,65 pulgadas de longitud se va a relacionar con el péndulo horizontal que forma el brazo de la balanza desde el punto en que se une con el alambre que torsiona hasta el extremo donde se encuentra una de las bolas. En la figura nº 14 se representan ambos péndulos.

 

Fig. 14. Péndulo simple y péndulo horizontal de la misma longitud.

 

Vamos a ver ahora por qué la fuerza responsable del movimiento del péndulo es inversamente proporcional al cuadrado del periodo de vibración. En la figura nº 15 (adjunta) se representan las fuerzas que intervienen en un péndulo simple cuando no se encuentra en una posición de equilibrio.

La fuerza que ejerce la Tierra sobre la bola, el peso, se descompone en dos:

La situación en el eje que forma el hilo del péndulo es de equilibrio, es decir, la tensión del hilo es igual a la componente del peso correspondiente. En módulo

Sin embargo, en el eje perpendicular al anterior la otra componente del peso es una fuerza que no se compensa. Esta fuerza es la responsable del movimiento del péndulo, su módulo es,

Si el ángulo de oscilación, α, es pequeño el comportamiento de la bola se puede explicar como un movimiento armónico simple. En esta situación, en radianes,

entonces

ahora bien, el ángulo α es la relación entre el arco A y el radio L,

Si tenemos en cuenta la relación entre la longitud del péndulo y el periodo, entonces podemos decir que la fuerza gravitatoria que hace oscilar al péndulo simple es proporcional al arco que describe el péndulo e inversamente proporcional al cuadrado de su periodo de oscilación

Llegados a este punto, se puede establecer una analogía entre el péndulo simple y el péndulo horizontal que forma la balanza de torsión de manera que, si la balanza oscila con el mismo arco, la fuerza que obliga a la barra a oscilar (F en la figura 14) también es directamente proporcional al arco descrito e inversamente proporcional a su periodo de oscilación, que aquí llamaremos N por utilizar la misma notación que Cavendish,

La relación entre ambas fuerzas,

sustituyendo ahora la expresión de Px y el periodo del péndulo simple de 36,65 pulgadas de longitud,

La fuerza gravitatoria que se ejerce la pesa sobre la bola es al peso de la bola como

esta expresión aparece en el trabajo publicado por Cavendish, según la copia que aparece en el texto de Mackenzie (figura nº 16) con la diferencia de que utiliza la letra A para el ángulo y aquí se está utilizando la letra α.

 

Fig. 16. Fuerza ejercida por la pesa sobre la bola de la balanza de torsión en función del ángulo y del periodo en el trabajo publicado por Cavendish.

 

Como a finales de siglo XVIII no estaba definida la unidad de fuerza, Cavendish establece una en este experimento. Para ello dice que la escala tiene, desde el centro del movimiento hasta uno de los extremos, 38,3 pulgadas (0,97 m). Además describe que cada pulgada de esta escala tiene 20 divisiones, es decir, desde el centro del movimiento hasta un extremo hay 20 · 38,3 = 766 divisiones.

Si damos la unidad de fuerza a aquella responsable de desviar el brazo un ángulo correspondiente a un arco de 766 divisiones, entonces la fuerza correspondiente a un ángulo cuyo arco es de una división será 1/766 veces menor. En definitiva, para una sola división, la fuerza gravitatoria que ejerce la pesa sobre la bola es al peso de la bola como

que es la expresión que aparece (figura nº 17) en el trabajo de Cavendish, según la copia que aparece en el texto de Mackenzie.

 

Fig. 17. Expresión de la fuerza que se ejerce sobre la bola de la balanza para que sea desviada un ángulo correspondiente a una división de la escala.

 

A continuación Cavendish pasa a analizar la corrección que hay que aplicar por el hecho de no tener las pesas perfectamente alineadas con las bolas. En el texto de Mackenzie aparece una figura (nº 18a) que permite explicar convenientemente esta corrección.

Fig. 18a. Corrección por no tener las pesas alineadas con las bolas.

 

W es la posición de la pesa cuya masa es W.

B es la posición que debería tener la pesa W si estuviera perfectamente alineada.

m es la posición de la bola de la balanza cuya masa es m.

Según cuenta Cavendish, las medidas son:


Con todos estos datos se puede averiguar(***) que las bolas no están alineadas por una distancia (mA o BW) de 1,08 pulgadas (2,7 cm). La consecuencia es que no toda la fuerza que se establece entre la pesa y la bola se implica en el movimiento del brazo de la balanza, hay una pequeña componente que no interviene en este proceso. En la figura nº 18b se representa la situación de las fuerzas.

 

Fig. 18b. Corrección por no tener las pesas alineadas con las bolas.

 

La fuerza que movería el brazo si los centros de la pesa y la bola estuvieran alineados es en módulo

pero realmente es la componente Fy de FWm, la que mueve el brazo. Su módulo es

La relación entre ambas fuerzas es,

donde el término a3/b3 es el factor de corrección que habría que aplicar. Con las medidas que da Cavendish este factor tiene un valor de 0,9860, sin embargo los cálculos de Cavendish le dan un valor de 0,9779 (una desviación del 0,8 % en la interpretación ofrecida en este trabajo).

Una vez constituida la forma de determinar la fuerza que ejerce la pesa sobre la bola y el factor de corrección que hay que aplicar, Cavendish pasa a describir el procedimiento para determinar la densidad de la Tierra. El proceso se basa en establecer la relación entre la fuerza gravitatoria que hay entre la bola de la balanza y la pesa y la fuerza gravitatoria que hay entre la bola de la balanza y la Tierra. No es la única relación que establece pues la densidad de la Tierra se da en relación a la densidad del agua. Así, dice que la masa de cada una de las pesas es de 2439000 granos(13) (158,0 kg) y que esta masa equivale 10,64 veces la masa de una esfera de agua de un pie de diámetro, que se considera la unidad esférica de volumen. Haciendo cálculos se puede comprobar que Cavendish está considerando (en términos actuales) una densidad para el agua de 0,998 g/cm3, que es la densidad del agua a unos 19 a 21 ºC.
Considerando las masas como puntuales y situadas en el centro de masas de los cuerpos, la fuerza gravitatoria que se establece entre la bola y la pesa es proporcional al producto de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros de gravedad,

donde, m y W son las masas de la bola y de la pesa y a es la distancia entre sus centros de gravedad (figura 18a). Sustituyendo el valor de la distancia, con su corrección correspondiente, y poniendo la masa de la pesa en función de la masa de la esfera de agua unidad, es decir, en función de la densidad del agua, d, tenemos,

Por otra parte, para la fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre la bola de la balanza, Cavendish da la siguiente medida terrestre: considera la Tierra como una esfera cuyo diámetro es de 41.800.000 de pies, que equivale a una esfera cuyo radio en pulgadas es seis veces ese número (6 · 41.800.000 pulgadas). El volumen de la Tierra es, en unidades esféricas, (41.800.000)3 veces el volumen de una esfera de un pie de diámetro. Haciendo cálculos podemos comprobar que estas medidas equivalen a un diámetro terrestre de 12.741 km, siendo la medida más actual del diámetro medio terrestre de 12.753 km. Por tanto, la fuerza gravitatoria que se establece entre la bola y la Tierra es proporcional al producto de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros de gravedad,

donde, m y MT son las masas de la bola y de la Tierra y r es la distancia entre sus centros de gravedad. Sustituyendo los valores y llamando d’ a la densidad de la Tierra tenemos,

La relación entre las dos fuerzas es,

 

Llamaremos D a la densidad relativa de la Tierra respecto a la densidad del agua,

entonces,

El denominador en el trabajo publicado por Cavendish es 8739000•D. En el texto de Mackenzie ya se menciona que C. Hutton en un artículo sobre la medida de la densidad de la Tierra, publicado en 1821, se hace eco de este error, sin embargo, no significa un cambio apreciable en la medida final de D.

Veamos las dos expresiones encontradas hasta ahora para ver como relacionarlas. En primer lugar,

Esta expresión da, respecto del peso de la bola, la fuerza gravitatoria que ejerce la pesa sobre la bola para que el brazo de la balanza se mueva una división de la escala. Podemos escribirla así:

 

La segunda expresión encontrada es:

relaciona la fuerza de atracción que se establece  entre la pesa y la bola cuando están situadas a una distancia de 8,85 pulgadas y la fuerza de atracción entre la Tierra y la bola. Podemos escribirla así:

 

Es claro que ambas expresiones se pueden dividir miembro a miembro,

 

 

 

 

Si recordamos que una división en la escala es un veinteavo de pulgada, entonces la relación entre las dos fuerzas es precisamente el número de divisiones que se mueve el brazo de la balanza. Ahora bien, si examinamos las tablas de los diferentes experimentos que realizó Cavendish observaremos que en los ocho primeros las pesas se mueven entre tres posiciones que Cavendish llama positiva, negativa y media (figura nº 19); en el resto de experimentos las pesas se mueven entre dos posiciones cercanas (positiva a negativa y viceversa).

 

Fig. 19. Posiciones de las pesas en el experimento de Cavendish.

 

Por tanto, si llamamos B al número de divisiones que se mueve el brazo de la balanza debido a un cambio de posición de las pesas desde el punto medio hasta una posición cercana (positiva o negativa), entonces será 2B el número de divisiones que se mueve el brazo de la balanza cuando las pesas se han cambiado desde una posición cercana a otra (positiva a negativa o viceversa). Así, en el primer caso

de donde

 

Esta es la expresión final que da la densidad media de la Tierra respecto de la densidad del agua en función de los parámetros que se miden en cada experimento, es decir, en función del periodo de vibración, N, de la balanza de torsión y en función del número de divisiones, B, que se desvía el brazo por la acción gravitatoria de las pesas sobre las bolas de la balanza. En la figura nº 20 se muestra parte de la página del trabajo de Cavendish donde aparece dicha fórmula, según la copia que aparece en el texto de Mackenzie.

 

 

Fig. 20. Fórmula para determinar la densidad de la Tierra.

 

 

 


(*) En el análisis de este proceso sí se usarán las cantidades con las unidades anglosajonas utilizadas por Cavendish pues el objetivo es deducir una expresión final, aunque se mencionarán también, cuando sea conveniente, las cantidades con unidades del Sistema Internacional.      (volver al texto)

 

(**) Cavendish no distingue, como por otra parte cabría esperar a finales del siglo XVIII, entre peso y masa. (volver al texto)

 

(***) Una forma de resolver los triángulos puede ser la siguiente: del triángulo rectángulo (OWA) conocemos la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo θ, por lo que podemos plantear el senθ y determinar θ, que es de 13,97º. El triángulo (OWm) es isósceles por lo que los dos ángulos opuestos a θ son iguales y como el ángulo θ es conocido, es posible determinar dichos ángulos pues la suma de los ángulos de un triángulo es de 180º. Los dos ángulos iguales del triángulo isósceles resultan ser de 83,02º. Finalmente, del triángulo rectángulo (AWm) ya conocemos dos ángulos por lo que podemos conocer el tercero que resulta ser de 6,99º, es decir, la mitad del ángulo θ.   (volver al texto)

 

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