- VI de VIII -   

 

Una buena parte del trabajo publicado por Cavendish está dedicado al análisis de las correcciones que deben ser tenidas en cuenta a la hora de aplicar la expresión de la densidad de la Tierra. Además de la corrección ya tenida en cuenta, referida a la no alineación de las pesas y las bolas, Cavendish analiza otras seis correcciones: 1) la resistencia del brazo de la balanza al movimiento y su influencia en el tiempo de vibración; 2) la atracción de las pesas sobre el brazo de la balanza; 3) la atracción de una pesa sobre la bola que se encuentra en el extremo opuesto de la balanza; 4) la atracción de la estructura de cobre que soporta las pesas sobre una de las bolas 5) la atracción de la caja de madera sobre el brazo de la balanza y las bolas y, finalmente, 6) el cambio de la fuerza de atracción de las pesas sobre las bolas dependiendo de su posición respecto al brazo de la balanza.
Cavendish considera que la corrección más importante es la última, aunque afirma que todas las correcciones deben ser analizadas. Veremos aquí solamente las conclusiones que saca respecto de dichos análisis.

Para el análisis de las tres primeras correcciones Cavendish se basa en la que es la figura 4 de su publicación, que aquí aparece a continuación.

 

Fig. 21. Esquema para el análisis de las tres primeras correcciones. B y b son las dos bolas de la balanza, w es una de las pesas de plomo.

(click sobre la imagen para ver despegable trabajo original, en ventana nueva)
 

 

El análisis de la primera corrección lleva a Cavendish a estimar la diferencia entre considerar o no la masa del brazo a la hora de determinar la fuerza de atracción de las pesas sobre las bolas. Concluye que si en el análisis teórico realizado la masa de cada bola era de 11.262 granos, siendo la masa del brazo despreciable, el hecho de sí considerar la masa del brazo es similar a suponer que dicha masa se reparte entre cada bola, estimando entonces que cada una tendría una masa de 11.660 granos. Esta corrección afecta al tiempo que se emplea en completar una vibración, indicativo de la fuerza necesaria para mover el brazo de la balanza, que es mayor si se considera la masa del brazo en una proporción de 1,0353 a 1.

En segundo lugar Cavendish pasa a analizar la atracción que ejercen las pesas sobre el brazo de la balanza. Utiliza un complejo procedimiento que incluye la utilización de fluxiones, el método de Newton de la moderna diferenciación, para concluir que esta atracción equivale a 0,0139 veces la atracción que se ejerce sobre una bola. Afirma que, además, este valor debe ser menor al no considerar el efecto contrario, aunque menor, de la atracción sobre el otro extremo de la balanza.

En cuanto a la tercera corrección, referente a la fuerza de atracción de la pesa sobre la bola más lejana de la balanza, Cavendish estima la componente de dicha fuerza en la dirección que une los centros de masa de la pesa y de la bola cercana (dirección wb en la figura 21). Concluye que dicha fuerza entre w y B es a la fuerza de atracción entre w y b como 0,017 es a 1.

La cuarta corrección que analiza es la atracción que ejerce la estructura de cobre que aguanta las pesas sobre una de las bolas. Concluye que la presencia de la varilla de cobre que soporta una pesa hace que la atracción de ésta sobre la bola más cercana sea 1,0199 veces superior a si se considera la fuerza de atracción de la pesa solamente. También analiza, es la quinta corrección, la fuerza de atracción que la caja de caoba puede ejercer sobre las bolas y el brazo. Este análisis lo hace en profundidad en un apéndice que acompaña al trabajo publicado y concluye que  evidentemente la caja no tiene ningún efecto cuando la barra está centrada pero cuando esta se desvía la atracción de la caja no es en ningún caso superior a 1/1170 veces la atracción entre las pesas y las bolas y, por lo tanto, no tiene en cuenta esta corrección.

Llegado este punto, Cavendish recapitula las conclusiones obtenidas hasta ahora para ver cómo afectan a las expresiones que permiten determinar la densidad de la Tierra. De las cinco primeras correcciones solo tiene en cuenta dos, la primera y la cuarta. Como hemos visto, la primera corrección afecta a la expresión de la relación entre la fuerza requerida para que el brazo se mueva una división y el peso de una bola, que queda de la siguiente manera

 

La expresión final que da la densidad de la Tierra queda entonces,

 

es decir, las correcciones han cambiado la expresión de la densidad de la Tierra de la siguiente manera(*):

Aún queda por analizar la sexta corrección: el cambio de la fuerza de atracción entre las pesas y las bolas dependiendo de su posición respecto al brazo de la balanza. Esta corrección no se aplica sobre las expresiones anteriores sino que corrige la desviación del brazo respecto de la posición de equilibrio en cada experimento.

El movimiento de las pesas entre dos posiciones cercanas (positiva a negativa o viceversa) no requiere de corrección pues se neutraliza el efecto de la diferente atracción de las pesas sobre las bolas durante el cambio de posición y, al final, la fuerza entre pesas y bolas solo cambia en sentido pero no en dirección y en módulo. Sin embargo, cuando las pesas cambian desde una posición cercana a la posición media, o viceversa, la atracción de las pesas a las bolas va variando y, además, no es igual cuando la pesa está en una posición cercana y cuando está en la posición media. Por tanto, es necesario aplicar una corrección al valor de la desviación del brazo respecto de punto de reposo del mismo en los experimentos en los que se realiza este movimiento de las pesas. Cavendish calcula que la corrección solo debe aplicarse si el brazo está desviado por encima de la división 20 en el momento de mover las pesas y determina que dicha corrección debe ser de

 

donde d es el número de divisiones por encima de la división 20 que está desviado el brazo en el momento de cambiar de posición las pesas. Para comprender mejor esta corrección analizaremos su aplicación a un caso concreto, el experimento nº 2 realizado el 6 de agosto de 1797. En la figura nº 22 se recoge la tabla de resultados de dicho experimento con los valores que nos interesan marcados.

 

Fig. 22. Tabla del experimento nº 2.

 

 

El experimento nº 2 empezó con el movimiento de las pesas desde la posición media hasta la posición positiva; este cambio de posición implicó que el brazo de la balanza se desviara en primer lugar hasta la división 26,87, es decir, 6,87 divisiones por encima de la división 20. Al final de la tabla se puede ver el valor calculado para la desviación del brazo respecto de la posición de equilibrio en esta primera parte del experimento, 15,87, que debe ser corregido de la siguiente manera:

 

El experimento sigue a continuación con un nuevo cambio de posición de las pesas desde la posición positiva hasta la posición media. En el instante de mover las pesas la última posición registrada del brazo es de 27,82 divisiones, luego la desviación por encima de la división 20 es 7,82 divisiones que es el valor de d. Si la desviación del brazo respecto de la posición de equilibrio en esta segunda parte es de 15,45 divisiones, su valor corregido será:

 

Para no tener que aplicar esta corrección es claro que es más conveniente mover las pesas desde la posición positiva a la negativa o viceversa, sin pararse en la posición media, que es lo que Cavendish hace a partir del experimento nº 9.

Para finalizar este apartado dedicado a las correcciones, mencionar solamente que Cavendish también corrige el tiempo de vibración en la primera parte del experimento nº 4 y en los experimentos nº 6, 7 y 8, en los que investigaba la influencia de la temperatura. En todos estos casos hace la corrección porque no realizó una medida del tiempo medio de vibración según el procedimiento general.
 


(*) En realidad, si se hacen los cálculos, el número del denominador debería ser 10845. (volver al texto)

 

 

 

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